继续说说微分方程和Lie group
Posted by 宝水 on 十二月 11, 2007
微分方程的Lie对称形成一个群，微分方程的Lie对称群理论是Sophus Lie在19世纪晚期创立的，Lie群是微分方程独立和非独立变量的可逆点变换，同时也可依赖于连续参数。Lie指出这种类型的群对构建微分方程的解有着重要的意义。Lie证明了利用对称群变换来寻求微分方程的解的方法具有统一性和可扩展性。其重要性可总结如下：
（1） 常微分方程的降阶
（2） 解的映射
（3） 偏微分方程独立变量的简化
（4） 不变量解的构建
（5） 边值问题的不变量解的构建
（6） 守恒律的构建
（7） 微分方程线性转换的检验
要实现以上任何一种用途，首先必须找到方程的对称（群），Lie提出一种基于无穷小准则理论的方法来寻求原方程的对称（群）。这些无穷小决定方程的解就用于对称（群）变换。
Lie（点）对称是微分方程系统的独立及非独立变量的空间点变换。在这种对称（群）变换作用下，每个点沿类似于微粒轨道的路径运动，所有的点路径家在一起形成可看作流体的流动，流动的切线分量代表它的速度向量域，也即微分算子，物理意义为流动流体的速率变化率。
寻求给定微分方程的对称（群）牵涉到建立和求解联合线性同构偏微分方程系统的问题，决定方程的对称特性是怎样产生的呢？
“对称”的概念的原则在数学及物理学中都扮演着重要的角色，于是出现了利用对称变换的方法来寻求微分方程的精确解的例子。对称分析是一种求解微分方程的系统的、精确的方法。替代求解非线性偏微分方程的方法是逆散射方法，这种方法仅仅适用于完全可积方程，而对称分析还可研究不完全可积方程的运动，其主要的缺点就是要涉及大量的计算。