非线性力学方程求解方法的研究现状
Posted by 宝水 on 十二月 11th, 2007
目前，用于非线性微分方程的求解方法大多分为两大类：一是解析方法[6~10]；二是数值方法[11~13]。
数值方法近年来发展极快，现已经成为流体力学各分支中不可缺少的工具。有限差分、有限元、有限体积、边界元、谱方法[14,15]和辛算法[16]等方法的出现，推动了计算流体力学的发展，并由此建立了较完整的理论体系，即稳定性理论、数值耗散和色散分析、网格生成和自适应技术、迭代和加速收敛方法; 提出了求解自由边界问题的多种拉格朗日和欧拉的混合方法，计算包含复杂激波系的复杂流场的高精度格式等。现将具有代表性的几种数值方法简单介绍如下：
有限差分方法(FDM)[12]是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。该方法将 求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而 建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。该方法是一种直接将微分问题变为代数 问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。
有限元方法(FEM)[17]的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值模拟。
有限体积法(FVM)[18]又称为控制体积法。其基本思路是：将计算区域划分为一系列不重复的控制体积，并使每个网格点周围有一个控制体积；将待解的微分方程对每一个控制体积积分，便得出一组离散方程。其中的未知数是网格点上的因变量的数值。为了求出控制体积的积分，必须假定值在网格点之间的变化规律，即假设值的分段的分布剖面。从积分区域的选取方法看来，有限体积法属于加权剩余法中的子区域法；从未知解的近似方法看来，有限体积法属于采用局部近似的离散方法。简言之，子区域法属于有限体积发的基本方法。
边界元法(BEM)[19]是在有限元法之后发展起来的一种较精确有效的工程数值分析方法。又称边界积分方程-边界元法。它以定义在边界上的边界积分方程为控制方程，通过对边界分元插值离散，化为代数方程组求解。它与基于偏微分方程的区域解法相比，由于降低了问题的维数，而显著降低了自由度数，边界的离散也比区域的离散方便得多，可用较简单的单元准确地模拟边界形状，最终得到阶数较低的线性代数方程组。又由于它利用微分算子的解析的基本解作为边界积分方程的核函数，而具有解析与数值相结合的特点，通常具有较高的精度。
利用解析法求解的问题主要是线性现象，而基于分析方法的渐近展开法日趋成熟，多种渐近法[20,21](如匹配展开法、多重尺度法、平均变分法等)被广泛运用于求解弱非线性问题。此外，试探函数法、行波法、相似变换和自相似法、特殊变换法(特征线方法、因变量或自变量变换、Hopf-Cole变换、Hirota双线性法)、逆散射法、Backlund变换法、Darboux变换法、常系数Riccati展开法等也有较多应用[22~26]。
抛开数值法及解析法范畴，纯粹数学中的泛函、群论、拓扑学、微分动力学等也不失为研究非线性问题的有效手段。本文正是结合群论研究李群在偏微分方程数值求解中的降维简化方法。