现代诗是一个失败

刘仰

季羡林先生的一本新书《季羡林生命沉思录》近日由国际文化出版公司开始发行。这本书不仅反映了季羡林先生对于人生的种种思考和感悟，也体现了季羡林先生在做学问之外，如何做人的风采。其中还有一个内容令我感兴趣。伴随着白话文运动一起走来的季羡林，对于文学艺术，对于新诗，也表达了自己独到的看法，使我有遇到知音的兴奋。

我这个年纪的人，大约都是从上个世纪70年代末开始接触中国的现代诗。北岛、舒婷、顾城等人的诗歌，曾经带来很大的触动。但是，这一波中国现代诗风潮，风行不到10年，便迅速消退。到如今，中国的现代诗已经成为鸡肋。为何出现这种状况？中国的现代诗到底怎么了？

在我读大学的时候，有一段时间也很喜欢现代诗，中国白话文运动以后的现代诗，以及世界各国著名诗人的作品读了不少。有一次，我突然发现了一个奇怪的事情。那时候，翻译外国现代诗的人很多，某些外国诗人的作品常常会有好几个翻译版本。记得好像是读前苏联诗人叶甫图申科的作品，有一天突然意识到，两个不同翻译者，翻译的同一首诗，文字及内容相差很大。我便把两个不同翻译者翻译的叶甫图申科的诗歌对照着看。结果发现，在不同翻译者的笔下，原作者的同一首诗，简直就是两首完全不一样的诗。

在以后阅读其他外国诗人作品时，我也很注意这个问题，结果发现，这个现象比较普遍。这到底是怎么回事？后来我发现，这是由于不同的人，对于同一首诗歌的不同理解所引起的。而且，在翻译过程中，如何用其他语言表达另一种语言的诗歌精华，确实是一件很困难的事。

叶甫图申柯在前苏联的诗人中，创建了一个“大声疾呼”派，意思是说，诗歌要适合大声朗诵。出于这样一种观念，叶甫图申柯的诗歌基本上没有晦涩难懂的内容，比较接近口语。但是，即便这样相对通俗的外国现代诗歌，在翻译过程中，都会造成巨大的差异，那么，类似艾略特、叶芝、庞德等人的诗歌，又会是怎样的处境呢？

当年在大学的时候，我组织过一些诗歌朗诵会。为了把这种疑问和理解传达给别人，我特地找了我们学校英语系几名最漂亮的女学生（当然，她们英语水平也很不错），让她们朗诵艾略特、庞德、叶芝等人的作品。之所以找她们，是因为我想用比较标准的英语来朗诵这些英语诗人的原文字作品；同时，找其他人朗诵同一首诗歌的中文翻译作品，两者比较之后，让听众自己感受。很明显，中文翻译作品的魅力，远远不如英文原作。从那时开始，我得出一个结论：诗歌是不能翻译的。

然而，近一百年来，中国的现代诗领域，从创作者到学习者，大多都是通过外国诗歌的中文翻译作品，汲取自己的创作灵感和创作养分，学习诗歌创作的手法。从理论到实践，通过中文翻译的桥梁，中国现代诗歌走上了一条没有前途的道路。

《季羡林生命沉思录》一书中，季先生针对中国现代诗的一些意见，让我觉得自己不是孤独的。季羡林先生说“在文学范围内，改文言为白话，也是中国文学史上的一件大事。七十多年以来，中国文化创作取得了长足的进步；但是，据我个人的看法，各种体裁间的发展是极不平衡的。小说，包括长篇、中篇和短篇，以及戏剧，在形式上完全西化了。这是福？是祸？我还没见到有专家讨论过。我个人的看法是，现在的长篇小说的形式，很难说较之中国古典长篇小说有什么优越之处。戏剧亦然，不必具论。至于新诗，我则认为是一个失败。”我赞同季羡林先生的看法，中国现代诗一百年来走过的道路，确实证明是一个失败，此路不通。

说中国现代诗是一个“失败”，我们必须说一点理由。每一种语言都有自身不同的特点，当我们通过翻译诗歌学习现代诗的时候，语言自身的魅力几乎荡然无存。中文翻译诗歌除了找一些句尾的押韵外，几乎没有任何诗歌技巧可言。而在英语诗歌中，由于其自身语言特点所形成的诗歌韵律，即便通过理论的详细讲解，也无法在中文里有机地运用。因此，学习外国诗歌造成的结果是，中国现代诗严重缺乏韵律，只剩下所谓内容。而表达一个内容，如果失去了韵律，并非只有诗歌这一种方式，诗歌的特长根本得不到发挥。于是，中国的现代诗成为长短句的上下排列。用韩寒的话说，只要会用回车键，就能写诗。一个长句子，随便断句，就成了一首诗。这种的现代诗，往往寡然无味。因此，季羡林先生说：“纯诗主张废弃韵律，我则主张诗歌必须有韵律，否则叫任何什么名称都行，只是不必叫诗。”

诗歌不是为了表现哲理。当中国的现代诗大规模照搬西方现代诗的时候，除了无法照搬的诗歌技巧，只剩下所谓内容。而在学习西方诗歌内容上，由于语言和思维方式的不同，原本属于中国诗歌特色的意境也受到局限，只剩下口号和肤浅的大道理。所以，季羡林先生说：所谓朦胧诗，“我总怀疑这是英雄欺人，以艰深文浅陋。”中国的诗人们企图冒充思想家，在自己思想贫乏的状况下，以为现代诗仅存的“哲理”世界，能够给他们带来鲜花和欢呼。可惜的是，艰深晦涩的文字外壳，掩藏的大多都是苍白的灵魂。

抛开诗歌的内容，外国现代诗大量的创作理论，对于中国的汉语诗歌创作，很少能有大的帮助。中国的诗人们，放着自身几千年伟大的诗歌传统不学，生搬硬套着西方的诗歌理念，削足适履，中国的现代诗只能走进死胡同。

学习传统的诗歌，并非要人们都写格律诗。在中国诗歌历史上，诗歌的格律、形式、语言等等，也始终在变化。以前的诗歌格律往往更适合文言文，在白话文已经通行无阻的今天，汉语的新格律值得深入探讨。徐志摩等人部分优秀的白话诗，都可以找到传统诗歌的韵律、意境，以及和白话语言结合的精妙。郭小川曾经在这个领域有所研究，可惜，后继无人，大家都跟着西方现代诗，企图再现北岛、顾城等人，一句“诗”唱响全中国的壮举。反过头来冷静想一想，当年北岛、顾城等人的现代诗，吸引人的，更主要的是符合时代精神的口号。

优秀的诗歌是无法翻译的，不论汉语还是外语。

语言和生活，是诗歌创作的源泉。像黑格尔理论那样，把诗人放在艺术的最高峰，只能害了诗人。我们不知道某些“诗人”，是先写出好诗，还是先成为“诗人”。一个神化的“诗人”标签，并不能筑成诗歌的神坛。因为，真正的诗人，只能是活生生的人，不可能是神。

如果我把上面这段话，按现代诗歌的形式，用回车键敲出来，大家看看结果如何。

　　语言和生活

　　是诗歌创作的源泉

　　像黑格尔理论那样

　　把诗人放在艺术的最高峰

　　只能害了诗人

　　我们不知道某些“诗人”

　　是先写出好诗

　　还是先成为“诗人”

　　一个神化的“诗人”标签

　　并不能筑成诗歌的神坛

　　因为，真正的诗人

　　只能是活生生的人

　　不可能是神

看，写现代诗多容易。不喜欢？很正常。因为这就是中国现代诗。

再论中国现代诗的失败

刘仰

《现代诗是一个失败》一文，引起了一些争论。同意反对的都有，两种观点中，好像都有一些是“写诗”的朋友。关于100年来现代诗的成就和评价问题，现在恐怕只能是争论，结论也许还要过些年才能看清。但是，中国现代诗坛的现状，又让我不得不说一点不中听的话，只希望这种无趣的局面早点结束。诗人兼新诗学理论家王家新曾经写到：“曾有人提出诗到语言为止，现在又有人提出诗到肉体为止，但我看这些人非把诗写到无聊为止”。不管是哪个“为止”，现代诗如果不改变，也许真的就要“到此为止”了。

针对《现代诗是一个失败》一文，有一些意见认为，学习翻译诗，并不是现代诗的全部。此话不算错。但是，白话文运动以后，中国现代诗的主流的确是学习翻译诗。还是引用一段王家新的话：“无论承认与否，我想几乎在每个中国现代诗人的写作生涯中都包含了一个‘秘密’，那就是对翻译诗的倾心阅读；同样，无论我们注意与否，在中国现代汉语诗歌的建设中，对西方诗歌的翻译一直在起着作用，有时甚至起着比创作本身更重要的作用。”

中文与外文有很大的区别。中文是方块字，是单音节字；外文每个字从字母数量到音节都不规则。因此，外文诗必然是长短句形式，音韵的变化与单音节的中文也不一样。而且，翻译诗基本上无法反映外语诗歌的韵律，学习翻译诗等于是放弃中文诗歌的韵律，这同写散文又有何区别？长一点、短一点而已。

我们现在往往单独提到“诗”，而我认为，不能将“诗歌”两个字分开。“诗”如果失去了“歌”的成份，变成所谓“纯诗”，那么，诗差不多只能利用深奥的哲学来故弄玄虚，用复杂的语言学来玩弄文字。顾城甚至非常极端地说：“我反对使用语言”，这倒给今天的诗人行为艺术提供了理论的依据。我并不是反对这种“艺术”，按照季羡林先生的话，这样的东西叫什么都行，只是不必叫诗。

著名新诗理论家谢冕先生曾经说，新诗的“最大贡献即在于大幅度引进意象化方式”。新诗理论家吴晓在他的一部著作中，更是把这种学习西方的诗歌创作理论推向极致，他说：“将诗歌意象称为艺术中的符号，这是因为意象具有符号的一切特征”。“那些对现实生活照相式的反映、模拟的诗歌，就不可能成为真正严格意义上的意象符号”。“创造具有真正符号意义的意象，就应当成为诗人的自觉行为”。这些话说得挺深奥，不太容易理解。新诗从实践到理论都越来越走向与哲学叫板的道路，不懂很正常。按照这种理论，“举头望明月，低头思故乡”，大概不算什么“真正符号意义的意象”，那算不算好诗呢？

王家新是一个竭力捍卫新诗的诗人兼理论家。他曾经拜访了一位法国的现代诗人，回国后写了一篇文章，其中介绍这位法国诗人时写到：“他现在更关心的不是诗人的自我，而是词与物、主体与对象或环境的关系”。这种诗往往充满了思辨的游戏，而没有诗歌本身应有的情感和生命力。中国现代诗人模仿这种方式写出来的诗，只能让人看不懂了。

当代诗人西川曾说：“在最好的状态，诗人胡说八道都是好诗”。我不知道西川所指的“最好的状态”是什么含意，是醉酒？是吸毒？是疯狂？还是其他？按照这种思维，创作诗歌有一个很好的办法，找一个精神病人，每天听他胡言乱语，把精彩的只言片语记录下来，我敢保证，那一定符合现代诗“好诗”的标准。在现代诗领域中，充满了太多非正常思维的追求。

现代诗与这种“胡说八道都是好诗”相反的另一个极端是，诗在西方文艺或美学理论中，常常被放到最高的艺术地位。诗被称为神，诗的地位被人为地拔高了，诗仿佛是一个独立于人类正常生活之外的绝对存在。上个世纪80年代曾经有一句口号，被朦胧诗界奉为圣明：“诗人不是作为某个历史时刻的人而存在着，他是上帝或神的使者”。我认为，这种观念等于给诗人承担了一份不可能完成的任务，最终只能让自己痛苦。中国当代另一个诗人臧棣曾经说：“诗歌永远不会认同现代社会，这是由它的特殊的文化意志决定的”，“如果非要诗歌承担什么的话，那么，我不得不说，诗歌除了高贵什么也不承担”。他们真的很奇怪，宣称自己在现代社会之外，却抱怨现代社会不接受他，这不是自找苦吃吗？难道诗人真的以为自己是神的化身，到世间传布福音来了？那么老百姓问问他来自哪个庙、哪个教堂行吗？

诗歌其实很简单，它只是生活感受同语言艺术的结合，缺了其中一项，便没有诗歌。说到诗歌的韵律，并非是说大家都去写旧体诗，白话文、现代语言也有自身的韵律，这在外语中是学不到的。鲁迅先生也翻译了不少外国的文学作品，但是，鲁迅写出的诗却是这样的：“横眉冷对千夫指，俯首甘为孺子牛”，鲁迅并没有按照翻译的方式写诗。

看看下面这首“诗”。

　　能做事的做事

　　能发声的发声

　　有一分热

　　发一分光

　　就令萤火虫一般

　　也可以在黑暗里

　　发一点光

　　不必等候炬火

　　此后如竟没有炬火

　　我便是唯一的光

　　倘若有了炬火，出了太阳

　　我们自然心悦诚服地消失

　　不但毫无不平

　　而且还要随喜赞美这炬火或太阳

　　因为他照亮了人类

　　连我都在内

这首“诗”比中国当今绝大多数诗人的现代诗作品要好得多。但它不是诗，它只是鲁迅《热风》中的一段话，我把它用回车键分了行而已。鲁迅如果要作现代诗人，把他的散文分分行，可能不会有人指责。鲁迅为什么没有写这样的诗？大家自己体会吧。

最后说一下现代诗人顾城。顾城早年有一些挺不错的诗，例如《赠别》：“一千次，我读到分别的语言。一百次，我看到分别的画面”。再如《我们去寻找一盏灯》，诗中不断重复的“走了那么远，我们去寻找一盏灯”，将白话诗的韵律赋予了新的含义，而不仅仅是平仄、对仗和押韵。顾城的诗越到晚期，越是没法卒读。顾城临终前在国外讲学的时候，也意识到这个问题，他已经很明确地表示，汉语的诗歌还是要回归唐宋的传统，可惜他害死了自己和他人。

总而言之，没有语言的韵律，大可不必叫做诗歌。文言文的韵律，在历史上已经很成熟了；白话文的韵律，还需要新的探索和实践。平仄和对仗使得虚词、介词等很难出现在诗歌中，而白话文总是有大量这类词汇。如何将这些词汇纳入现代白话诗歌韵律，确实是中国现代诗人们应该考虑的。对于这项工作，西方现代诗理论几乎没有任何帮助。学习西方翻译诗，不管是第一手、第二手还是第三手，对于中国现代新诗、白话诗、现代诗（不管叫什么）的繁荣、兴旺和再生，都没什么大用处。况且，中国的诗人们学了西方，西方老师还并不领情。

很多年前我写了首现代诗《每行八个字》，不知道算好还算坏。

　　每行八个字的先锋

　　诗你是否曾见过其

　　实在我来说没什么

　　难的说句大话现代

　　诗其实一点不难想

　　想某个体会到的题

　　目的重点随随便便

　　在整整齐齐的稿纸

　　上面来点文字整顿

　　就可以了解释一点

　　点你的古怪主张开

　　始终归还不能挥洒

　　自如果然后生命苦

　　所以你要勤快就是

　　说什么起床要早点

　　睡觉要晚点心里想

　　拆散几对鸳鸯般的

　　词组成为了了断有

　　时长时短的就很需

　　要显得你好聪明天

　　才能力超群众多作

　　品种类齐全对不对

　　现代艺术当然要包

　　括号称领导最新潮

　　流的现代诗人们要

　　求饶恕艺术灵感动

　　员动员某些人大赦

　　所有艺术性创造自

　　由你自己看着办争

　　论证明白费力气是

　　是非非常常都是无

　　所谓写诗真的不难

　　你漫不经心随便搞

　　一些文字游戏就可

　　以满足每行八个字

我相信你读得有点头痛，现代诗就希望这样，“以艰深文浅陋”。

争鸣：

我反对季羡林先生的新诗“失败”说——兼与刘仰先生商榷

老巢

在新出版的《季羡林生命沉思录》一书中，季先生说了这样一段话：“在文学范围内，改文言为白话，也是中国文学史上的一件大事。七十多年以来，中国文化创作取得了长足的进步；但是，据我个人的看法，各种体裁间的发展是极不平衡的。小说，包括长篇、中篇和短篇，以及戏剧，在形式上完全西化了。这是福？是祸？我还没见到有专家讨论过。我个人的看法是，现在的长篇小说的形式，很难说较之中国古典长篇小说有什么优越之处。戏剧亦然，不必具论。至于新诗，我则认为是一个失败。”

作为和白话文一起成长的过来人，季羡林先生在这里对文学艺术，尤其是对新诗，说出这样的话着实令我震惊。季先生是海内外公认的大学问家，几乎是当代中国知识界硕果仅存的泰斗级人物。他“个人的看法”也会一呼百应，产生巨大影响。很快就有刘仰先生在自己的新浪博客上撰文表达“遇到知音的兴奋”，“赞同季羡林先生的看法”，认为“中国现代诗一百年来走过的道路，确实证明是一个失败”，是走上了“一条没有前途的道路”，是“走进死胡同”，并断言：“此路不通”。

要中国新诗掉头往回走？回到“五四”之前，回到胡适的“新诗革命”甚至黄遵宪、梁启超的“诗界革命”之前，回到“格律”和“韵脚”中去？季羡林先生似乎就是个意思，他说：“纯诗主张废弃韵律，我则主张诗歌必须有韵律，否则叫任何什么名称都行，只是不必叫诗”。很显然，在季先生眼里，不讲“韵律”的现代汉语诗歌压根就不是诗歌。换句话说，所谓的“自由诗”该收场了，今天的诗人还想以诗的名义混事，就只有摹写唐诗宋词了。

我为什么说是“摹写”？启功先生有评说：“唐以前诗是长出来的，唐人诗是嚷出来的，宋人诗是想出来的，宋以后诗是仿出来的”。宋以后就只剩下一个“仿”字了，我们岂能例外？依我看，倒退才是真正的死路一条！

不错，我们的古典诗歌举世无双，灿烂辉煌。春江花月，旷心怡神；大漠孤烟，荡气回肠。但它是建立在我们古老民族悠久农业文明基础上的。归去来兮，田园将芜。进入二十世纪以来，中国社会天翻地覆。“星星已不是那颗星星，月亮也不是那个月亮”，失去了生存的土壤，古典诗歌被现代新诗所取代就是历史的必然。如谢冕先生所言：“新诗的出现及其试验的成功，为二十世纪中国文学革命的胜利写下了决定性的最后一笔。它是中国新文化建设中的一件惊天动地的大事。二十世纪的文化变革留给中国许多记忆，而新诗的从无到有的轰轰烈烈的行进，却是最激动人心的、永远值得纪念的事件”。

其实从安徽人胡适写出第一首新诗到今天不过九十年。作为一个人是老了，但作为一门语言艺术，实在是太年轻了。发育不良、遇到诸多成长的烦恼，走过弯路，犯过错误，到如今也还不够成熟，令人失望，甚至面临空前的冷遇和被“恶搞”的尴尬。但我们不能因此就断言它已经“失败”，更不能走回头路。至于刘仰先生所谓的“新格律”，闻一多、林庚等人当年就实验过，“带着镣铐跳舞”，并没取得积极的成果。

我不否认新诗的发端来源于对西方诗歌的翻译，也不否认诗歌的翻译是艰难的，是不能信任的。甚至同意刘仰先生所说的：“每一种语言都有自身不同的特点，当我们通过翻译诗歌学习现代诗的时候，语言自身的魅力几乎荡然无存”。但我们必须看到，不同语言的相互翻译一直在自觉而有效地进行着，诗歌也不例外。好的翻译罕见但的确存在，且已经构成不同语言沟通与交流的桥梁。西方诗歌对中国新诗的影响是巨大的，但从来不是决定性的。而且这种影响正随着时间的推移而减弱，在今天最好的汉语诗人那里，已与东方传统有机地融为一体。

实际上，早在白话新诗起步之初，俞平伯、周作人等就指出其先天不足和诸多弊端。比如“词汇贫乏”、“借材异地”、“缺乏美术的培养”等，比如“唠叨的叙事”、“甚麽标准都没有了，结果是散漫无纪”等。但这些缺陷都还不足以“致命”，新诗还是在克服和检讨自己种种诟病的过程中顽强地活了下来。尤其是上世纪七、八十年代，被季先生怀疑“是英雄欺人，以艰深文浅陋”的朦胧诗给我们带来崭新的审美体验并开创现代诗的新局面。刘仰先生也承认年轻时接触“北岛、舒婷、顾城等人的诗歌，曾经带来很大的触动”，尽管现在他认为“当年北岛、顾城等人的现代诗，吸引人的，更主要的是符合时代精神的口号”。但诗歌向读者和社会提供“符合时代精神的口号”错在哪里？

过去的一百年来，我们的民族经磨历劫，悲喜交加。我们的新诗从无到有，脚步蹒跚而目光坚定，与最广大的人民同呼吸共命运，产生了郭沐若、穆旦、艾青、北岛、海子等划时代的大诗人，他们的影响早已越过汉语的边界,为祖国赢得了五湖四海的赞誉。

每个时代都会选择并指定为自己代言的话语方式，九十年以来，一直是，以后也肯定是新诗。正如谢冕先生所指出的：时至今日，新诗“已是一种与中国人的情感生活不可剥离的存在。很难想象，如今的中国人除了新诗，还能寻找到别的什么传达情感的诗的方式。历史是往前走的，正如江河不可能回流”。

现在是中国新诗的第九十个冬天。冷是冷了点，但相信一天天成熟起来的当代的汉语诗人们会从容面对，并用初具经典品质的创作迎来再一次的春暖花开。我们已经掌握必要的诗艺，正刻苦寻找并虔诚建设着自身的传统。认为“只要会用回车键，就能写诗”，实在是对当前诗歌写作的无知。

(作者angelboy0611)

   1.菲赫今哥尔茨的”微积分学教程”,”数学分析原理”。前一本书,俄文版共三卷,中译本共8本;后一本书,俄文版共二卷,中译本共4本。此书堪称经典。”微积分学教程”其实连作者都承认不太合适作为教材,为此他才给出了能够做教材的后一套书,可以说是一个精简的版本。相信直到今天,很多老师在开课的时候还是会去找”微积分学教程”,因为里面各种各样的例题实在太多了，如果想比较扎实的打基础的话,可以考虑把里面的例题当做有答案的习题来做,当然不是每道题都可以这么办的。毫无疑问,这套书代表了以古典的方式处理数学分析内容(指不引入实变,泛函的观念)的最高水平。

   2.Apostol的”Mathematical Analysis”在西方(西欧和美国),算得上相当完整的课本，里面讲了勒贝格积分，不过讲的不好。

   3.W.Rudin的”Principles of Mathematical Analysis”(中译本:卢丁”数学分析原理”)是一本相当不错的书,后面我们可以看到, 这位先生写了一个系列的教材。该书的讲法(指一些符号,术语的运用)也是很好的。学完”高等数学”以后,可以找一本西方advanced calculus水平的书来看(特别是Rubin的书),基本上就能够达到一般数学系的要求了。说到Advaced Calculus,在这个标题下面有一本书也是可以一看的,就是L.Loomis和S.Sternberg的Advanced Calculus。这本书的观点还是很高的,毕竟是人家Harvard的课本.

   4.”数学分析”(北大版)方企勤,沈燮昌等的”数学分析习题集”,”数学分析习题课教材”。北大的这套课本写得还是可以的,不过最好的东西还是两本关于习题的东西。大家知道,吉米多维奇并不是很适合数学系的学生的,毕竟大多是计算题。相比之下北大的这本习题集就要好许多,的的确确值得一做。那本习题课教材也是很有意思的书,包括一些相当困难的习题的解答。

   5.克莱鲍尔的”数学分析”。记得那是一本以习题的形式讲分析的书,题目也很不错。

   6.张筑生的”数学分析新讲”(共三册)。我个人认为这是中国人写的观点最新的数学分析课本,张老师写这书也实在是呕心沥血,手稿前后写了差不多五遍。象他这样身有残疾的人做这样一件事情所付出的是比常人要多得多的，以致他自己在后记中也引了”都云作者痴,谁解其中味”。在这套书里,对于许多材料的处理都和传统的方法不太一样.非常值得一读。唯一的遗憾是,按照张老师本人的说法,北大出版社找了家根本不懂怎么印数学书的印刷厂,所以版面不是很好看。

下面的一些书可能是比较”新颖”的.

   7a.尼柯尔斯基”数学分析教程” 是清华的人翻译的,好象没翻全。那属于80年代以后苏联的新潮流的代表,不管怎么说,人家是苏联科学院院士。

   7b.V.A.zorich”数学分析”,莫斯科大学的教材。SPRINGER出了英文版，相当好的一套教材，特别是习题。

   8.狄多涅”现代分析基础(第一卷)”是一套二十世纪的大家写的一整套教材的第一卷,用的术语相当”高深”,可能等以后学了实变,泛函再回过头来看感觉会更好一些.

   9.说两句关于非数学专业的高等数学。强烈推荐理图里面几本法国人写的数学书。因为在法国高等教育系统里面,对于最好的学生,中学毕业以后念的是两年大学预科,这样就是不分系的,所以他们的高等数学(如J. Dixmier院士的”高等数学”第一卷)或者叫”普通数学”,其水平基本上介于国内数学系和物理系的数学课之间)

   10.再补充个技术性的小问题.对于函数项级数收敛, 一致收敛是充分而非必要的,有一个充要条件叫”亚一致收敛性”,在”微积分学教程”里面提了一句,其详细讨论,似乎仅见于鲁金(Lusin)的”实变函数论”里面。

   11.华罗庚先生的”高等数学引论”第一卷。这套书(其实没有完成最初的计划)是六十年代初华先生在王元先生的辅助下对科大学生开课时的讲义。那时候他们做过个实验,就是一个教授负责一届学生的教学,所以华先生这书里面其实是涉及很多方面的(附带提一句,另外两位负责过一届学生的是关肇直先生和吴文俊先生)。也是出于
一种尝试吧,华先生这书里面有一些不属于传统教学内容的东西,还包括一些应用。可以一读。

   12.何琛,史济怀,徐森林的”数学分析”。这应该是科大的教材,虽然好象影响不是很大,我本人还是很喜欢的,高一的时候第一次学数分就是用的这套书,感觉是条理清晰,配的习题也很好。印刷质量也相当不错。

   13，邹应的”数学分析”。徐森林老师说这是中国最难的一本数学分析，大致是Dixmie的大学数学教程的改编版。

高等代数可以认为处理的是有限维 
线性空间的理论.如果严格一点, 

关于线性空间的理论应该叫线性代数, 

再加上一点多项式理论(就是可以完完 

全全算做代数的内容的)就叫高等代数了. 

这门课在西方的对应一般叫Linear Algebra, 

就是苏联人喜欢用高等这个词,你可以在外国 

教材中心里面找到一本Kurosh(库落什)的 

Higher Algebra. 

  

现在用的课本好象是北大的”高等代数”(第二版?). 

用外校的课本在基础课里面是不常见的. 

  

这本书可以说是四平八稳,基本上该讲 

的都讲了.但是你要说它有什么地方讲 

的特别好,恐怕说不出来. 

  

值得注意的是95-96学年度,北大现在的 

校党委组织部长王杰老师(段学复先生 

的弟子)给北大数学科学学院95级1班 

开课时曾经写过一本补充材料,把空 

间理论的讲得非常清楚.如果谁能搞到 

的话翻印出来是件很好的事情(我的那 

本舒五昌老师给96开课的时候送给他 

了,估计是找不到了). 

  

好象上面有一点说得不对,就是北大的书用的 

还是第一版.第二版在书店里似乎看见过. 

  

从这门课的内容上说,是可以有很多种讲法的. 

线性空间的重点自然是线性变换,那么如果在 

定义空间和像空间里面取定一组基的话,就有一 

个矩阵的表示.因此这门课的确是可以 

建立在矩阵论上的. 

而且如果要和数值搭界的话还必须这么做. 

复旦以前有两本课本就是这么做的. 

  

1.蒋尔雄,吴景琨等 

“线性代数” 

这是那时候计算数学专业的课本,其教学要求据说是比 

数学专业相应的课程要高的. 

  

因为是偏向计算的缘故,你可以找到一些比较常用的算法. 

我个人以为还是比较有意思的.理图里有. 

  

2.屠伯埙等 

“高等代数” 

这就是在上海科技出版的一整套复旦数学系教材里 

讲高等代数的那本.不记得图书馆里面有,不过系里 

可能可以买到翻印的. 

  

这本书将80%的篇幅贡献给矩阵的有关理论.有大量 

习题,特别是每章最后的”选做题”.能独立把这里面 

的习题做完对于理解矩阵的 

各种各样的性质是非常有益的. 

  

当然这不是很容易的: 

据说屠先生退休的时候留下这么句话:”今后如果有谁 

开高等代数用这本书做教材,在习题上碰到麻烦的话 

可以来找我.”有此可见一斑. 

  (本人在西区图书馆见过此书,相当的旧,且都没有封面,这也许就是这本书价值的体现了,呵呵,今年一定借回来看看…)

如果从习题方面考虑,觉得上面的书太难吃下去的话, 
那么下面这本应该说是比较适当的. 
3.屠伯埙等 
“线性代数-方法导引” 
这本书比上面那本可能更容易找到,里面的题目也 
更”实际”一些.值得一做. 
  
  
另外,讲到矩阵论.就必须提到 
4.甘特玛赫尔”矩阵论” 
我觉得这恐怕是这方面最权威的一本著作了.其中译者 
是柯召先生. 
  
在这套分两册的书里面,讲到了很多不纳 
入通常课本的内容.举个例子,大家知道矩阵有Jordan 
标准型,但是化一个矩阵到它的Jordan标准型的变换矩 
阵该怎么求?请看”矩阵论”. 
  
这书里面还有一些关于矩阵方程的讨论,非常有趣. 
总书库里有. 
  
图书馆里面还有一本书的名字和矩阵论沾边. 
  
5.许以超 
“线性代数和矩阵论” 
虽然许先生对复旦不甚友好(高三那会他对我说要在中国 
念大学数学系要么去北大,要么去科大–他是北大毕业的, 
现在数学所工作–我可没听他的),但是必须承认这本书还 
是写得很不错的,习题也不错.必须指出,这里面其实对于 
空间的观念很重视.不管怎么样,他还是算华先生的弟子的. 
  
6.华罗庚 
“高等数学引论” 
华先生做数学研究的特点是其初等直观的方法别具一格,在 
矩阵理论方面他也有很好的工作.甘特玛赫尔的书里面你 
只能找到两个中国人的名字,一个是樊畿先生,另一个就是华先生. 
可能是他第一次把下述观点引进中国的数学教材的 
(不记得是不是在这本书里面了): 
n阶行列式是n个n维线性空间的笛卡尔积上唯一一个 
把一组标准基映到1的反对称线性函数. 
这就是和多线性代数或者说张量分析的观点很接近了. 
  
  
  
高等代数的另外一种考虑可能是更加代数化的.比如 
7.贾柯勃逊(N.Jacobson) 
Lectures on Abstract Algebra ,II:Linear Algebra 
GTM(Graduate Texts in Mathematics)No.31 
(”抽象代数学”第二卷:线性代数) 

这里想说的是,这套书的中译者黄缘芳先生,大概数学系里面 
已经没多少人还记得文革前复旦有这么一位代数学教授了. 
此书英文版总书库里有,中文版(字体未完全简化)理图里有. 
  
8.Greub 
Linear Algebra(GTM23) 
这里面其实更多讲的是多线性代数.里面的有些章节还是 
值得一读的. 
  
还有两本书我觉得很好,不知道图书馆里面是不是有: 
  
9.丘维声 
“高等代数”(上,下) 
北大94级的课本,相当不错.特点是很全,虽然在矩阵那个方向 
没有上面提到的几本书将得深,但是在空间理论,具体的说一些 
几何化的思想上讲得还是非常清楚的.多项式理论那块也讲了不少. 
  
10.李炯生,查建国 
“线性代数” 
这是中科大的课本,可能是承袭华先生的一些传统把,里面有一些 
内容的处理在国内可能书属于相当先进的了. 
  

纪念大数学家欧拉诞辰300周年

　　如果说17世纪是牛顿的世纪，那么18世纪就属于欧拉。彼得大帝和叶卡捷琳娜的俄罗斯，不仅开始了赞助艺术的传统，也从异国聘请了欧拉和贝努利兄弟那样的科学天才。不少数学史家把欧拉与阿基米德、牛顿和高斯并列为有史以来最伟大的四位数学家。

　　在人类文明史上，不乏失明的歌唱者，从古代希腊的荷马到中世纪波斯的鲁达基，从近代英国的弥尔顿到上世纪阿根廷的博尔赫斯。可是，在科学家中这类人物极为罕见。如同创作不朽旋律的贝多芬双耳先后失聪一样，从事数学研究的欧拉也在晚年双目失明，但这丝毫不减少他们的创造力。

前苏联为纪念欧拉所发行的邮票

小国里的数学巨匠

　　在一个小国家里诞生一位科学巨匠，这在世界史上并不多见。瑞士数学家、物理学家莱昂纳尔·欧拉便是其中最出色的一位，虽然他成年以后一直生活在两座遥远的异国城市：彼得堡和柏林，他的肖像画却出现在瑞士法郎上，与英镑上的牛顿一起成为至今仍流通欧洲的纸币上仅有的两位科学家。1707年4月15日，欧拉出生在瑞士西北部邻近法国和德国的巴塞尔，这座通用法语的城市至今人口仍不足20万，却拥有瑞士最早的学府———巴塞尔大学（1460），莱茵河蜿蜒着穿过她的中心。德国哲学家尼采年轻时曾在巴塞尔大学担任过十年的古典文献学教授，在那里完成了他的代表作《悲剧的诞生》，并与在近郊安度晚年的音乐家瓦格纳成为莫逆之交。

　　让我们先把时光推进到欧拉20岁那年，即1727年。对欧拉来说这是一个关键性的年份，那一年牛顿在伦敦去世，那一年欧拉开始了学术生涯，他首次参加了巴黎科学院的有奖竞赛———在船上安置桅杆。这一传统的竞赛活动起始于1721年，吸引并激励了欧洲各国难以计数的年轻人，它对科学的贡献超过了诺贝尔奖的设立。不幸而又幸运的是，欧拉落选了，加上此后求职母校未果，当年他便动身去了俄国，受聘于彼得堡科学院。可是，就在欧拉踏上俄罗斯领土的那一天（5月17日），这个国家的女皇叶卡捷琳娜一世去世了。作为俄国最伟大的君王———彼得大帝的情妇和妻子，这位出身卑微的立陶宛女子在许多方面都表现得非常开明，在她仅仅两年多的在位时间里，实现了丈夫建立科学院的愿望。

　　牧师家庭出身的欧拉之所以选择后来的科学道路，不能不说是与当地一个叫贝努利的数学世家有关。贝努利家族原先居住在比利时的港口城市安特卫普（当时隶属荷兰），因为遭受宗教迫害而于16世纪末逃难到内陆的法兰克福，尔后又迁至瑞士，在巴塞尔安顿下来。这个家族的三代人中出现了八位极有成就的数学家，其中最年长的一位雅各布在巴塞尔大学做了数学教授，并成为欧拉父亲的老师。尽管老欧拉颇具数学才华，却差点犯下一个错误，在教会儿子数学的同时又要求他继承自己乡村牧师的职位。事实上，在那个年代里对非显贵家庭出身的西方年轻人来说，牧师、医生和律师不失为安身立命的三个好职业。

　　于是小欧拉进了巴塞尔大学学习神学和希伯来语，但他的数学才能很快引起了雅各布的弟弟约翰的注意，约翰在雅各布去世后继承了兄长的职位，他的两个儿子尼古拉和丹尼尔也与欧拉结为挚友（兄弟俩均为数学家）。17岁那年，欧拉获得哲学硕士学位，同时也面临对未来职业的抉择，老欧拉仍固执己见，幸亏诸位贝努利前辈的热情劝告和担保，做父亲的才最后放弃自己的主张，数学王国里才不至于失去这样一位伟大的创造者。尼古拉和丹尼尔后来应聘到新成立的彼得堡科学院，正是在他们兄弟的举荐之下，欧拉告别了父老乡亲，从此踏上了不归的数学之路。虽然欧拉没有做成牧师，但父亲笃信的加尔文教赋予了他一颗温厚、仁慈之心，他毕生为人都十分谦逊。

　　欧拉被公认为是纯粹数学的奠基人之一，也是历史上最卓越、最多产的科学家之一，被同代数学家视为“分析的化身”，此外他在数论、几何学、拓扑学、力学诸方面均有重大的原创性贡献，并把成果广泛应用到物理学和工程技术领域。在我看来，欧拉的一个无与伦比的优点在于他的精细和耐心，这使得以他名字命名的数学发现无处不在，并且总是处在各个领域引人瞩目的位置。例如，欧拉函数和欧拉定理（数论）、欧拉常数（微积分）、欧拉公式（复变函数）、欧拉线和欧拉圆（几何学）、欧拉图（图论）、欧拉示性数（拓扑学）、欧拉角（动力学）、欧拉方程式（流体力学）等等。

与女皇和国王相处

　　正如拿破仑是结交数学家最多的君王，与君王打交道最多的数学家是欧拉。直到18世纪，欧洲的大学依然不是主要的学术研究中心，不过比起物理学等近代科学分支来，数学因为与古典传统较为接近而受到重视。可是，尽管微积分学诞生已经一个世纪，但大学教授的主要精力仍在对付初等数学，他们很少花精力做前沿研究。与17世纪法国那些伟大的业余爱好者不同，真正的学者有了自己的靠山和赞助人，那便是专业的科学研究机构。由于莱布尼兹的大力倡导，在有远见的统治者的支持下，柏林科学院和彼得堡科学院相继成立，加上此前成立的意大利（山猫）科学院、英国皇家学会和法国皇家科学院（梅森学院），数学史上最活跃的时期已经来临。

　　可是，欧拉初到彼得堡的日子，处境十分艰难。叶卡捷琳娜一世死后，权力旁落到一伙粗鲁残暴的家伙手里，甚至年幼的沙皇也在能够行使自己的职权以前死去。那些当权者把科学院及其研究者看成是可有可无的摆设，他们甚至考虑取消它，遣返所有的外籍人员。也算是不幸中的大幸，贝努利兄弟原先推荐欧拉去的是医学部，因为只有那儿有空缺，为此他突击学习了生理学并在巴塞尔大学旁听了医学讲座，科学院混乱的管理正好给了欧拉机会，他偷偷溜进了数学部。那以后的六年时间里，欧拉埋头于自己的研究，完全沉浸在数学王国，直到他的引路人之一丹尼尔·贝努利（尼古拉·贝努利在欧拉抵达前一年溺水身亡）决定离开俄国，返回自己的祖国。

　　在丹尼尔回到瑞士以后，欧拉接替了他在彼得堡科学院的数学教授职位，那年欧拉26岁，准备在俄罗斯安家了，新娘是彼得大帝西游时带回来的画师的女儿，也是欧拉的瑞士同胞。那时俄国早有了一位新女皇，即彼得大帝的侄女安娜·伊万诺夫娜，虽说在安娜的情夫的间接统治下俄罗斯经受了历史上最血腥的恐怖时期，但科学院的境况并没有变得更糟，欧拉这样的数学家对当权者无害。欧拉喜欢孩子，他的两任妻子（第二个妻子是第一个妻子的同父异母的妹妹）先后生下了13个孩子，欧拉常常一边抱着婴儿一边写论文，稍长的孩子们则围绕着父亲嬉戏，他是在任何地方、任何条件下都能工作的少数几位大科学家之一。

　　1740年，安娜女皇退位并于当年去世，欧拉遂接受了普鲁士国王腓特列大帝的邀请，到柏林科学院担任数学部主任。传说王太后很喜欢老实持重的欧拉，有一次她故意逗他说话，但是欧拉的回答总是很简洁，“是”或者“不是”。“为什么你不愿意跟我多说话呢？”太后问。“太后，我刚从那样一个国家来，在那里你要是说多话，就会被吊死。”相比之下，欧拉与普鲁士国王相处并不愉快，因为国王喜欢溜须拍马的大臣。他之所以支持数学只是感到那是一种责任，但他从内心里讨厌这门学问，因为他自己的数学很蹩脚，这方面他无法与法兰西皇帝拿破仑相比，后者自称是个几何学家，并与同时代所有的巴黎数学家都交上了朋友。

　　在很多时候，欧拉代理彼得堡科学院院长的职务，他在柏林不受欢迎的另一个原因是，他对腓特列大帝津津乐道的哲学问题一无所知。有一次，法国启蒙主义思想家伏尔泰来访，在竭尽所能取悦了一番国王之后，他又以一套近乎玄学的语汇拿欧拉逗乐。忠厚老实的欧拉耐着性子接受了这一切，但国王却感觉自己丢了面子，他决心物色一位能说会道的数学家来领导他的科学院，结果法国人达朗贝尔被邀请到了柏林。比欧拉年轻10岁的达朗贝尔是偏微分方程的开拓者，他最早写出了动力学原理的著作，此外，他又是著名的《百科全书，或科学、艺术和工艺详解词典》的副主编（主编是哲学家狄德罗）。

　　这是世界上第一部影响巨大的百科全书，网罗了一大批启蒙主义思想家，并在编撰过程形成了一个被后人称之为“百科全书”的哲学流派。显而易见，这样一位全才的人物足以让腓特列大帝的虚荣心得到满足，没想到的是，达朗贝尔却是一位头脑清醒、判断力精确的人，虽然他和欧拉在学术上有过一些不快。这位法国客人十分坦率地告诉普鲁士国王，把任何其他数学家置于欧拉之上都是一种错误的行为。可惜的是，这不仅没有让自负的国王改变对欧拉的看法，反而变本加厉使得欧拉更难以忍受。为了自己子女的前途，欧拉只好打点行装，离开了生活了25年之久的柏林，再次回到了寒冷的彼得堡，他的妻子和儿孙们也一同返回。

　　此时俄罗斯又有了一位新女皇，即叶卡捷琳娜二世，她本是德意志亲王的女儿，因为嫁给彼得大帝的外孙来到俄国，有机会接近并攫取王位。叶卡捷琳娜二世在位的34年里，继承了彼得大帝未竟的事业，领导俄国全面参与欧洲的政治和文化生活，制定法典并厉行改革，同时夺取了波兰和克里米亚的大部分领土，故又被称作叶卡捷琳娜大帝。在欧拉回到彼得堡之后，女皇以皇室的规格接待他，拨给他一栋可供全家18人居住的大房子和成套的家具，并派去自己的一个厨子。恼羞成怒的普鲁士国王只得写信给法国数学家拉格朗日，“欧洲最伟大的国王希望欧洲最伟大的数学家在他的宫里。”显而易见，他对欧拉的离任耿耿于怀。

孜孜不倦的失明者

　　在人类文明史上，不乏失明的歌唱者，从古代希腊的荷马到中世纪波斯的鲁达基，从近代英国的弥尔顿到上世纪阿根廷的博尔赫斯。可是，在科学家中这类人物极为罕见。如同创作不朽旋律的贝多芬双耳先后失聪一样，从事数学研究的欧拉也在晚年双目失明，但这丝毫不减少他们的创造力。贝多芬一生写作了九部交响曲、五部钢琴协奏曲、十部钢琴和小提琴协奏曲，还有难以计数的钢琴奏鸣曲、弦乐四重奏、声乐和歌剧作品。而欧拉完成了800多篇（部）论文和著作，其中58％是数学方面的，物理学－力学和天文学各占了28％和11％，其余3％是关于航海学和建筑学的。从1907年欧拉诞辰200周年开始，瑞士政府着令有关部门编辑《欧拉全集》，那是72卷大四开本的巨著，至今尚未完成。

　　必须指出的是，欧拉的失明并非由于家族的遗传。第一次灾难降临时欧拉只有28岁，为了赢得一项天文学的巴黎大奖，他连续工作了三天三夜，把这个难题给解决了，而当时其他几位主要数学家都认为那需要数个月的时间。结果引发了一场疾病，欧拉从此失去了右眼的视力，这一点我们从他本人留下来的几幅肖像画中也可以看出。欧拉的左眼患上白内障是在他第二次居留俄国期间，那时他快60岁了。虽然欧拉的通信者如法国数学家拉格朗日、达朗贝尔等表示了深深的忧虑，他本人倒是能够泰然处之。在完全失明之前，他努力尝试用粉笔把公式写在大石板上，然后让儿子或秘书抄下来，他自己再口述对公式的说明和其他文字。这样一来，他写作论文的效率非但未有降低，反而提高了。

　　与许多失明者一样，欧拉有着非凡的记忆力。除了几乎把那个时代的全部数学结果铭记于心以外，他还长于心算。更让人不可思议的是，欧拉能背出古罗马大诗人维吉尔的12卷史诗《埃涅阿斯纪》每一页的首句和末句。这部史诗描述了特洛伊沦陷以后王子埃涅阿斯历尽艰辛，在异国他乡（罗马）重新建立居留地的故事，其优美智慧的诗句、结构和韵律达到了尽善尽美的地步，以至于但丁在《神曲》里让维吉尔引领他到达了天堂。或许，欧拉从中获得了某种共鸣，他的数学发明总是以优美的形式出现。晚年当被友人问起在哪个地方度过的时光最美好时，他不假思索地回答说是彼得堡。在欧拉完全失明的17年间，最让他得意的工作是发现月球的运动规律，那曾是惟一使牛顿头痛的问题，被欧拉通过复杂的分析和心算推导出来了。

　　除了失明以外，欧拉一生还遭遇了许多不幸，8个孩子先后夭折，晚年的一场大火几乎夺走了他的生命和手稿，幸亏瑞士仆人的奋力抢救，但他的房子连同藏书全被烧毁了。叶卡捷琳娜二世获悉后马上补偿了全部经济损失，欧拉重又投入了工作。值得一提的是，在安娜和叶卡捷琳娜二世之间，俄国还有一位女皇伊丽莎白，那便是彼得大帝的女儿。她在位的20年间，欧拉一直生活在柏林，尽管如此，俄国方面照付给他院士津贴。也是在她在位期间，彼得堡科学院第一次有了本国院士———科学家兼诗人罗蒙诺索夫。有一年，俄罗斯军队入侵柏林远郊，欧拉的农场遭到了抢劫，女皇知道后加倍赔偿了他的损失。可以说，欧拉的一生得到了俄国四位女皇的垂青。

飞驰的船停住了

　　1783年9月18日，一个晴朗的秋日下午，欧拉像往常一样在石板上写着什么，那可能是在计算气球上升的轨迹。然后，他和家人一起吃晚饭，谈论着新近发现的天王星。那会儿，在德国中北部的不伦瑞克，一座离开柏林不到200公里的小城里，园丁的儿子高斯已年满6岁，充分显露出了数学神童的天赋。晚餐后，欧拉一边喝着茶，一边和小孙女玩耍，突然之间，烟斗从他手中掉了下来。他说了一句：“我死了”，随即“欧拉停止了生命和计算”。后面这句经常被数学史家引用的话出自法国哲学家兼数学家孔多塞之口，他是大革命时期的急先锋，后来不幸死于狱中。不知为何，这句话使我联想起欧拉喜爱的维吉尔的诗句，“锚抛下去，飞驰的船停住了。”

　　每个人都有时代的局限性，在欧拉研究过的诸多难题中，有的尚未完全解决，例如天文学中的三体问题，即太阳、地球和月亮在相互引力下如何运动的问题，这个问题至今仍然存在。由于欧拉涉足的研究范围十分广泛，即使在他为之倾心的数学领域，仍有许多未解决的问题，例如毕达哥拉斯时代遗留下来的完美数和友好数问题，这方面以欧拉的贡献最大；再如费尔马大定理，欧拉也有出色的贡献，但最终的解答由英国数学家怀尔斯在上个世纪末给出；又如哥德巴赫猜想，是欧拉和数学家哥德巴赫通信时提出来的，至今未有证实或否定。哥德巴赫的故乡在普鲁士的哥尼斯堡，诞生于这座城市的“七桥问题”是拓扑学的出发点，而把这个世俗问题抽象到数学高度的正是欧拉。

　　确切地说，欧拉是历史上最著名的宫廷数学家，他毕生往返于两个敌对的国度———俄罗斯和德意志之间，侍奉于不同的国王和皇后。一次，腓特烈大帝命令欧拉给他的侄女授课，他便动笔写下了一系列文笔优美的散文，后来变成畅销数十个国家的《给一位德国公主的信》，这是出自科学家手笔的科普著作的早期范本。尽管如此，由于欧拉既不像前辈牛顿那样建立起一门新科学（微积分学）和完整的力学体系，也不像后来的高斯那样建立起一个数学学派（哥廷根学派），加上他来自小国家，他的公众知名度并不特别高。有许多时候，欧拉以一种谦逊之心默默做着别的大数学家不愿意做的工作，如同欧拉早年的导师约翰·贝努利给他信中所写的：“我在教高等分析的时候，他还是个孩子，而您正在将他带大成人。”

　　谈到18世纪的数学家，尽管法国人更愿意抬高自己的同胞拉格朗日，欧拉仍被更多的同行推崇为最有成就的一位。还有不少数学史家把欧拉与阿基米德、牛顿和高斯并列为有史以来最伟大的四位数学家。他们拥有一个共同点，即在创建纯粹理论的同时，还把自己发明的数学工具用以解决大量天文、物理和力学问题。他们不断地从实践中吸取营养，同时又绝不满足于解决具体问题；他们把宇宙看成是一个有机的整体，力图揭示出它的内在奥秘和规律。有着“法兰西的牛顿”之誉的拉普拉斯赞叹道，“学习欧拉吧，他是我们所有人的老师”：“数学王子”高斯也曾经说过，“对于欧拉工作的研究，将仍旧是数学人能上的最好的无可替代的学校。”从某种意义上讲，自从欧拉去世以后，数学再也不像从前那样美好了。

---

【大纪元5月15日讯】前不久，2004年诺贝尔物理学奖获得者、美国Kavli理论物理研究所所长大卫．格罗斯（David Gross）教授在北京中科院物理所做了题为“物理学的未来”的科学报告，600多名师生参加了报告会。报告中格罗斯教授讨论了当前物理学面临的25个问题及它们如何引导物理学未来25年的发展。

据博讯网报道，格罗斯在报告中还指出，基础科学是一切学科和社会文明的基础，“聪明的人应该选择基础物理研究！”格罗斯在教书育人上也取得了空前成功，学生中既有和自己分享诺贝尔奖的弗伦克．乌尔捷克教授，也有菲尔茨奖得主、著名数学与物理学家爱德华．威滕教授等。他在报告中说，中国学生以前给人的感觉是“非常听话”，现在活泼好问的学生越来越多，这是一个可喜的现象。他认为，做科学一定要有“野心”，要志存高远、敢于挑战权威。

此前，在浙江大学召开的受聘仪式上，格罗斯表示，获诺贝尔奖是他意料中的事。他说，“因为终身都处在物理研究的前沿阵地，获奖是迟早的事情。” 他此番话部分是针对社会上重经济轻科学，重应用研究轻基础研究的现状而言的。格罗斯表示，在达到一定经济基础的时候一个真正聪明的人应该选择科学，在科学中“发现”有着无穷乐趣，赚钱只是人的一般性选择。

格罗斯说，过去25到35年中，物理学取得了巨大进展，但与之同时人们面临的未知事物同样增多。他将这些“未知”归纳为当前物理学面临的25个问题，认为它们将引导物理学下一个25年的发展。分属宇宙论、 天体物理学、凝聚态物理学、粒子物理学、弦理论、生物物理学和科学政策及社会学七大领域的这25个问题，广泛涉及宇宙起源、暗物质、暗能量、星体形成、广义相对论、量子力学、复杂性、量子计算机、理论生物学、基因组学和计算物理学等。 格罗斯演讲的这25个问题具体包括：

　　1.宇宙起源：宇宙学观测表明宇宙是膨胀着的。通过对微波背景辐射和宇宙大尺度结构等的观测，宇宙的历史可以追溯到极早期发生的大爆炸。我们所知的基 本物理，比如广义相对论和粒子物理标准模型，在那里都不适用。为理解宇宙起源，需要了解大爆炸时期的基本物理。

　　2.暗物质的本质：现代宇宙学观测表明宇宙中存在暗物质和暗能量。但是它们的起源仍然是个谜。

　　3.暗能量的本质。

　　4.恒星、行星的形成：天体的形成是天体物理学中的重要问题。适合生物存在的行星，在银河系中出现的几率到底是多少？

　　5.广义相对论：广义相对论在所有尺度上都是正确的吗？

　　6.量子力学：量子力学取得了巨大成功，但它描述的是自然的最终理论吗？也许它会在很小的距离上和非常复杂的系统中失效，是否可用来描绘整个宇宙也还值得探讨。

　　7.标准模型：粒子物理标准模型无疑极为成功，但人们并没有理解夸克和轻子的质量混合的物理起源和中微子的质量等。

　　8.超对称：存在低能超对称吗？超对称伴子的质量谱是什么？

　　9.量子色动力学(QCD)：量子色动力学可以完全求解吗？

　　10.弦论：超弦理论是一个有望成功地统一自然相互作用的理论，但它到底是什么？

　　11.时空的观念：时空是什么？超弦理论最终可能会放弃时间和空间这两个概念。

　　12.物理理论是否与环境相关：物理的基本参数和规律都可以计算，还是仅由历史的或量子的偶然性决定，或者是由人择原理来确定？景观的图像是对的吗？

　　13.新物态：存在常规实验可探查的一般非费米流体行为吗?

　　14.复杂性：对一般的复杂大系统而言，其内在的混沌特性决定了系统的不可预测性。如何运用计算手段来分析这类系统、鉴别哪些特征？

　　15.量子计算机：如何防止量子计算中的“退相干”？如何实际制造量子计算机？

　　16.物理学的应用：如何得到室温甚至室温以上的超导材料？如何用电子材料(如半导体)制造室温铁磁体？

　　17.理论生物学：生物学的理论是什么？理论物理学有助于生物学研究吗？需要新的数学吗？如何描述生物体这样呈现出多时间尺度动力学的体系？

　　18.基因组学：物理学家如何参与基因组的“解密”？可能拥有一个定量的、可预测的进化理论吗？甚至能否直接从基因组出发“计算”有机体的形状？

　　19.意识的研究：记忆和意识后面的自组织原则是什么？有可能在幼儿期测量到意识的发生吗？什么时候？如何发生？如何测量？能否制造一个具有“自由意志”的机器？

　　20.计算物理学：计算机能代替解析计算吗？如果是，那么将来物理学家所受的训练该如何相应改变？

　　21.物理学的分化：物理学自身发展日益分化，如何面对这种状况？

　　22.还原论：是否应该怀疑这个物理学的根本逻辑？是否保持一个开放的态度？

　　23.“理论”应该扮演何种角色：“理论”是否应仅仅靠实验来判断正误，或者应该是由基本物理原理发展出来的对自然“更高”层次的理解，而可以不顾及 是否能在实际中实现？在对复杂系统的细节描述中，如何估价物理学家一贯坚持的“简洁性”和数学“优美性”等原则？

　　24.物理学未来发展中潜在的危险：如何面对越来越大、越来越难以实现的物理学实验计划？在这种形式下，新的研究途径该是怎样的？理论在探索自然方面应该起什么作用？

　　25.物理学是否仍将是最重要的科学？ @

 

    在1900年巴黎国际数学家代表大会上，希尔伯特发表了题为《数学问题》的著名讲演。他根据过去特别是十九世纪数学研究的成果和发展趋势，提出了23个最重要的数学问题。这23个问题通称希尔伯特问题，后来成为许多数学家力图攻克的难关，对现代数学的研究和发展产生了深刻的影响，并起了积极的推动作用，希尔伯特问题中有些现已得到圆满解决，有些至今仍未解决。他在讲演中所阐发的想信每个数学问题都可以解决的信念，对于数学工作者是一种巨大的鼓舞。
　　希尔伯特的23个问题分属四大块：第1到第6问题是数学基础问题；第7到第12问题是数论问题；第13到第18问题属于代数和几何问题；第19到第23问题属于数学分析。
（1）康托的连续统基数问题
　　1874年，康托猜测在可数集基数和实数集基数之间没有别的基数，即著名的连续统假设。1938年，侨居美国的奥地利数理逻辑学家哥德尔证明连续统假设与ZF集合论公理系统的无矛盾性。1963年，美国数学家科思（P.Choen）证明连续统假设与ZF公理彼此独立。因而，连续统假设不能用ZF公理加以证明。在这个意义下，问题已获解决。
（2）算术公理系统的无矛盾性
　　欧氏几何的无矛盾性可以归结为算术公理的无矛盾性。希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明论方法加以证明，哥德尔1931年发表不完备性定理作出否定。根茨（G.Gentaen，1909-1945）1936年使用超限归纳法证明了算术公理系统的无矛盾性。
（3）只根据合同公理证明等底等高的两个四面体有相等之体积是不可能的
　　问题的意思是：存在两个登高等底的四面体，它们不可能分解为有限个小四面体，使这两组四面体彼此全等德思（M.Dehn）1900年已解决。
（4）两点间以直线为距离最短线问题
　　此问题提的一般。满足此性质的几何很多，因而需要加以某些限制条件。1973年，苏联数学家波格列洛夫（Pogleov）宣布，在对称距离情况下，问题获解决。
（5）拓扑学成为李群的条件（拓扑群）
　　这一个问题简称连续群的解析性，即是否每一个局部欧氏群都一定是李群。1952年，由格里森（Gleason）、蒙哥马利（Montgomery）、齐宾（Zippin）共同解决。1953年，日本的山迈英彦已得到完全肯定的结果。
（6）对数学起重要作用的物理学的公理化
　　1933年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫将概率论公理化。后来，在量子力学、量子场论方面取得成功。但对物理学各个分支能否全盘公理化，很多人有怀疑。
（7）某些数的超越性的证明
需证：如果α是代数数，β是无理数的代数数，那么α^β一定是超越数或至少是无理数（例如，2^√2和e^π）。苏联的盖尔封特（Gelfond）1929年、德国的施奈德（Schneider）及西格尔（Siegel）1935年分别独立地证明了其正确性。但超越数理论还远未完成。目前，确定所给的数是否超越数，尚无统一的方法。
（8）素数分布问题，尤其对黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孪生素共问题
　　素数是一个很古老的研究领域。希尔伯特在此提到黎曼（Riemann）猜想、哥德巴赫（Goldbach）猜想以及孪生素数问题。黎曼猜想至今未解决。哥德巴赫猜想和孪生素数问题目前也未最终解决，其最佳结果均属中国数学家陈景润。
（9）一般互反律在任意数域中的证明
　　1921年由日本的高木贞治，1927年由德国的阿廷（E.Artin）各自给以基本解决。而类域理论至今还在发展之中。
（10）能否通过有限步骤来判定不定方程是否存在有理整数解？
　　求出一个整数系数方程的整数根，称为丢番图（约210-290，古希腊数学家）方程可解。1950年前后，美国数学家戴维斯（Davis）、普特南（Putnan）、罗宾逊（Robinson）等取得关键性突破。1970年，巴克尔（Baker）、费罗斯（Philos）对含两个未知数的方程取得肯定结论。1970年。苏联数学家马蒂塞维奇最终证明：在一般情况答案是否定的。尽管得出了否定的结果，却产生了一系列很有价值的副产品，其中不少和计算机科学有密切联系。
（11）一般代数数域内的二次型论
　　德国数学家哈塞（Hasse）和西格尔（Siegel）在20年代获重要结果。60年代，法国数学家魏依（A.Weil）取得了新进展。
（12）类域的构成问题
　　即将阿贝尔域上的克罗内克定理推广到任意的代数有理域上去。此问题仅有一些零星结果，离彻底解决还很远。
（13）一般七次代数方程以二变量连续函数之组合求解的不可能性
　　七次方程x⁷+ax³+bx²+cx+1=0的根依赖于3个参数a、b、c；x=x(a,b,c)。这一函数能否用两变量函数表示出来？此问题已接近解决。1957年，苏联数学家阿诺尔德（Arnold）证明了任一在［0，1］上连续的实函数f(x₁，x₂，x₃)可写成形式∑h_i(ξ_i(x₁,x₂),x₃)(i=1～9)，这里h_i和ξ_i为连续实函数。柯尔莫哥洛夫证明f(x₁，x₂，x₃)可写成形式∑h_i(ξ_i1(x₁)+ξ_i2(x₂)+ξ_i3(x₃))(i=1～7)这里h_i和ξ_i为连续实函数，ξ_ij的选取可与f完全无关。1964年，维土斯金（Vituskin）推广到连续可微情形，对解析函数情形则未解决。
（14）某些完备函数系的有限的证明
即域K上的以x₁,x₂,…,x_n为自变量的多项式f_i（i=1,…，m），R为K［X₁，…，X_m]上的有理函数F（X₁，…，X_m）构成的环，并且F（f₁，…，f_m）∈K[x₁，…，x_m]试问R是否可由有限个元素F₁，…，F_N的多项式生成？这个与代数不变量问题有关的问题，日本数学家永田雅宜于1959年用漂亮的反例给出了否定的解决。
（15）建立代数几何学的基础
　　荷兰数学家范德瓦尔登1938年至1940年，魏依1950年已解决。
　　注一：舒伯特（Schubert）计数演算的严格基础。
　　一个典型的问题是：在三维空间中有四条直线，问有几条直线能和这四条直线都相交？舒伯特给出了一个直观的解法。希尔伯特要求将问题一般化，并给以严格基础。现在已有了一些可计算的方法，它和代数几何学有密切的关系。但严格的基础至今仍未建立。
（16）代数曲线和曲面的拓扑研究
　　此问题前半部涉及代数曲线含有闭的分枝曲线的最大数目。后半部要求讨论备dx/dy=Y/X的极限环的最多个数N（n）和相对位置，其中X、Y是x、y的n次多项式。对n=2（即二次系统）的情况，1934年福罗献尔得到N(2)≥1；1952年鲍廷得到N(2)≥3；1955年苏联的波德洛夫斯基宣布N(2)≤3，这个曾震动一时的结果，由于其中的若干引理被否定而成疑问。关于相对位置，中国数学家董金柱、叶彦谦1957年证明了（E2）不超过两串。1957年，中国数学家秦元勋和蒲富金具体给出了n＝2的方程具有至少3个成串极限环的实例。1978年，中国的史松龄在秦元勋、华罗庚的指导下，与王明淑分别举出至少有4个极限环的具体例子。1983年，秦元勋进一步证明了二次系统最多有4个极限环，并且是（1，3）结构，从而最终地解决了二次微分方程的解的结构问题，并为研究希尔伯特第（16）问题提供了新的途径。
（17）半正定形式的平方和表示
　　实系数有理函数f(x₁,…，x_n)对任意数组（x₁，…,x_n）都恒大于或等于0，确定f是否都能写成有理函数的平方和？1927年阿廷已肯定地解决。
（18）用全等多面体构造空间
　　德国数学家比贝尔巴赫（Bieberbach）1910年，莱因哈特（Reinhart）1928年作出部分解决。
（19）正则变分问题的解是否总是解析函数？
　　德国数学家伯恩斯坦（Bernrtein，1929）和苏联数学家彼德罗夫斯基（1939）已解决。
（20）研究一般边值问题
　　此问题进展迅速，己成为一个很大的数学分支。日前还在继读发展。
（21）具有给定奇点和单值群的Fuchs类的线性微分方程解的存在性证明
　　此问题属线性常微分方程的大范围理论。希尔伯特本人于1905年、勒尔（H.Rohrl）于1957年分别得出重要结果。1970年法国数学家德利涅（Deligne）做出了出色贡献。
（22）用自守函数将解析函数单值化
　　此问题涉及艰深的黎曼曲面理论，1907年克伯（P.Koebe）对一个变量情形已解决而使问题的研究获重要突破。其它方面尚未解决。
（23）发展变分学方法的研究
　　这不是一个明确的数学问题。20世纪变分法有了很大发展。

会下金蛋的鹅：希尔伯特第十问题

　　数学问题是数学中最具魅力的部分之一，也是数学史上许多重要思想的源泉。据说，有人曾建议德国著名的数学家希尔伯特（DavidHilbert，1862～1943）去解决费马猜想，以夺取为这一猜想而设的沃尔夫斯凯尔奖金（WolfskehlPrize），希尔伯特笑笑说：“我为什么要杀掉一只会下金蛋的鹅呢？”
　　在希尔伯特看来，一个像费马猜想这样的数学问题对数学的价值是无可估量的。希尔伯特不仅舍不得“杀鹅”，还怀着极大的热诚为20世纪的数学界做了一回“寻鹅之人”。1900年，在巴黎举行的第二届国际数学家大会上，希尔伯特做了一次堪称数学史上影响最为深远的演讲，题目是“数学问题”。在演讲中，希尔伯特列举了23个他认为最具重要意义的数学问题，这些问题被后人称为“希尔伯特问题”。解决希尔伯特问题成了许多数学家终生奋斗的目标，在解决这些问题的过程中，源源不断地产生出的“金蛋”为20世纪的数学发展注入了极大的生机。
　　什么是希尔伯特第十问题
　　希尔伯特第十问题是一个与解方程有关的问题。在中学时我们就解过许多简单的方程，比如2x－2y＝1，x2＋y2＝z2。这两个简单方程有一个共同特点，只包含未知数的整数次幂，系数也都是整数，这类方程被称为整系数代数多项式方程。数学家们对这类方程的研究有着漫长的历史。
　　公元3世纪，希腊数学家丢番图（Diophantus，200？～284？）发表了一部长篇巨著《算术》。这部13卷的著作，经过1700多年的漫长岁月，流传至今的只有六卷。丢番图在这部著作中对整系数代数多项式方程进行的大量研究，对代数与数论的发展有着先驱性的贡献。后人为纪念他，把整系数代数多项式方程称为丢番图方程（DiophantusEquation）。
　　对于丢番图方程，数学家们最感兴趣的是它是否有整数解（或自然数解）。对于简单的方程这是很容易找到答案的，比如x2＋y2＝z2有整数解（早在3000多年前，我国古代的数学家就知道这个方程的一组解：即勾三股四弦五）；2x－2y＝1则没有整数解（因为方程的左边为偶数，右边却为奇数）。但对于一般的丢番图方程来说，判断它是否有整数解却是件极困难的事，其中最著名的例子就是费马猜想，即xn＋yn＝zn在n＞2时没有非零整数解，直到300多年后才得到证明。
　　长期以来，人们对丢番图方程是否有整数解的研究都是针对特定形式的丢番图方程进行的。有没有办法对一般的丢番图方程是否有整数解进行研究呢？或者，是否可以找到一种普遍的算法，用来判定一个任意的丢番图方程是否有整数解，从而一劳永逸地解决这类问题呢？这便是著名的希尔伯特第十问题。这样的问题在数学上被称为判定问题（DecisionProblem），因为它寻求的是对数学命题进行判定的算法。
　　希尔伯特是一位对数学充满乐观信念的数学家。他提出这一问题时，没有用“是否存在这样的算法”作为问题的表述，而是直接要求数学家们寻找这样的算法，可见他对存在一个肯定的答案怀有期待。这种期待与他在其他方面对数学的乐观看法一脉相承。
　　不可判定命题的启示
　　希尔伯特第十问题要求寻找判定丢番图方程是否有解的算法。究竟是什么算法呢？当时没有明确的定义。这一困难使希尔伯特第十问题在提出后整整30年没有取得任何实质性进展。
　　直到20世纪30年代，对算法的研究才逐渐深入。
　　数学上，算法是（通过有限多的步骤）对数学函数进行有效计算的方法。因此算法研究的一个重要的切入点，是寻找可以有效计算的函数。到底什么样的函数是可以有效计算的呢？数学家们开始并没有普遍的结论，只知道一些最简单的函数，以及用这些函数通过若干简单规则组合出的函数是可以有效计算的。数学家们把这类函数叫做递归函数（RecursiveFunction）。
　　1931年，年轻的法国数学家赫尔布兰德（JacquesHerbrand，1908～1931）对递归函数进行了研究，并给著名逻辑学家哥德尔（KurtGdel，1906～1978）写信叙述了自己的研究结果。哥德尔当时正处于自己一生中最重大的成果———哥德尔不完全性定理———的研究时期，没有立即对赫尔布兰德的工作做出回应。那一年的夏天，年仅23岁的赫尔布兰德在攀登阿尔卑斯山时不幸遇难，他的工作因此被暂时埋没了。
　　与赫尔布兰德的研究差不多同时，20世纪30年代初，普林斯顿大学的美国逻辑学家丘奇（AlonzoChurch，1903～1995）也在积极从事逻辑及算法的研究，并且发展出了一种新的逻辑体系。他让自己的两个学生克林（StephenKleene，1909～1994）与罗瑟（JohnRosser，1907～1989）对这一体系做细致的研究。两个学生都是一流好手，克林后来还成为一流的逻辑学家。他们的研究很快就有了结果，但这结果大大出乎丘奇的意料。他们发现丘奇的那套体系竟然是自相矛盾的！命运似乎只有一个：放弃。幸运的是，丘奇的那套体系中有一个组成部分是自洽的，因此可以保留下来，这部分叫做兰姆达运算（λ－calculus）。
　　这种兰姆达运算可以用来定义函数，而所有用兰姆达运算定义的函数都是可以有效计算的。在对兰姆达运算做了研究之后，丘奇提出了一个大胆的猜测，他猜测所有可以有效计算的函数都可以用兰姆达运算来定义。
　　1934年，丘奇向到普林斯顿大学访问的哥德尔介绍了这一猜测，哥德尔却不以为然。丘奇不服气，请哥德尔给出一个他认为合适的描述。一两个月后，哥德尔就给出了一种完全不同的描述，这种描述的基础正是3年前赫尔布兰德在给他的信中叙述的结果。哥德尔对这一结果进行了完善，这一结果被人们称为赫尔布兰德－哥德尔递归函数。
　　这样，丘奇与哥德尔各自给出了一种体系，描述可以有效计算的函数。丘奇与克林很快证明，这两种看上去完全不同的描述方式实际上是彼此等价的。两位著名逻辑学家的工作殊途同归，大大增强了丘奇的信心。他相信人们已经找到了可以有效计算的函数的普遍定义。但哥德尔及其他一些人对此却仍然怀有疑虑。最终打消这种疑虑的是英国数学家图灵（AlanTuring，1912～1954）。
　　图灵当时对丘奇及哥德尔在这方面的研究并不知情。他所研究的课题是什么样的运算可以用机器来实现。他的这一研究对后来计算机科学的发展起到了深远的影响。在图灵的研究接近完成的时候，他的导师注意到了丘奇与哥德尔的工作。于是图灵对彼此的工作进行了比较，发现丘奇与哥德尔所定义的那些函数与他的抽象计算机可以计算的函数恰好吻合！图灵把这一结果作为附录加进了自己的论文。这下就连哥德尔也心悦诚服了，毕竟，有什么能比在计算机上计算更接近“可以有效计算”以及算法的基本含义呢？
　　在这些有关算法的研究中，数学家们还提出了一个重要的概念：递归可枚举集（RecursivelyEnumerableSet）。即由可以有效计算的函数所生成的自然数的集合。对于一个集合来说，一个很基本的问题就是判断一个元素是否属于该集合。递归可枚举集也不例外。当数学家们研究递归可枚举集的时候，发现了一个十分微妙的结果：对于某些递归可枚举集来说，我们无法判定一个自然数是否属于该集合！换句话说，有一些递归可枚举集是不可判定的。这一结果把对算法的研究与判定问题联系了起来，为后来解决希尔伯特第十问题埋下了重要的伏笔。
　　这一系列结果出现在1936～1937年间。那时候，在数学中存在无法判定的命题已经不是一件新鲜事了。早在5年前哥德尔就已经证明了他的不完全性定理，即任何足够复杂并且自洽的数学体系都必定包含不可判定的命题。当时已知的不可判定命题大都集中在逻辑领域内。在数学的其他领域中，究竟哪些命题是不可判定的呢？这个问题在整整10年之后才开始有答案。
　　1947年美国数学家波斯特（EmilPost，1897～1954）找到了第一个逻辑领域以外的不可判定命题。波斯特是一位有着深刻洞察力的逻辑学家，7岁时随父母从波兰移民到美国，是美国逻辑学的先驱之一。他早将近10年就得到了与哥德尔不完全性定理相似的结果，由于想对结果作更全面的分析而没有及时发表。1936年，几乎与哥德尔、丘奇及图灵同时，波斯特独立提出了类似于图灵的结果，他也是最早意识到希尔伯特第十问题可能会有否定答案的数学家之一。1944年，他在一篇文章中明确提出希尔伯特第十问题“期待一个不可解性证明”。当时波斯特在纽约市立大学任教，他的这一观点深深打动了一位学生，使后者走上了毕生钻研希尔伯特第十问题的征途。这位学生名叫戴维斯（MartinDavis，1928～），是解决希尔伯特第十问题的关键人物。

3. 丢番图集

戴维斯的父母也是从波兰移民来美国的， 戴维斯本人出生在纽约。 1944-1948 年间， 戴维斯在纽约市立大学学习， 波斯特对希尔伯特第十问题期待一个否定答案的看法用戴维斯本人的话说是开始了他 “对这一问题的终身迷恋”。 从纽约市立大学毕业后， 戴维斯来到了美国逻辑学的中心普林斯顿， 跟随丘奇从事进一步的研究。 戴维斯在普林斯顿研究的是一个冷门的课题， 对于研究生来说， 研究这样的课题最容易出成果。 但戴维斯无法抵御希尔伯特第十问题的魅力， 在研究自己课题的同时， 分出精力来继续思考希尔伯特第十问题。 最后他甚至在博士论文上特意增添了一个章节， 简单叙述了自己在希尔伯特第十问题上 “不务正业” 的结果， 那是在 1950 年。 这一增添的章节使戴维斯的那篇原本会象多数研究生工作那样被人遗忘的博士论文名垂史册。 三年后， 戴维斯发表了一篇更详细的论述。 他的这一工作标志着数学家们正式开始解决希尔伯特第十问题。

戴维斯在他的研究中引进及运用了一个重要的概念， 称为 “丢番图集” (Diophantine Set)。 和我们在上面提到的递归可枚举集一样， 丢番图集也是一些由自然数组成的集合。 所不同的是， 递归可枚举集是由可以有效计算的函数生成的， 而丢番图集则是通过丢番图方程生成的。 戴维斯的重要发现就在于找到了这两类集合之间的一种关联。

这两类集合之间的关联为什么重要呢？ 是因为倘若希尔伯特第十问题具有肯定的答案， 即存在一个算法来判定丢番图方程是否有解， 那么我们就可以用这一算法来确定一个自然数是否属于某个丢番图集， 这表明所有丢番图集都是可判定的。 反过来， 倘若我们可以证明某些丢番图集是不可判定的， 也就证明了希尔伯特第十问题具有否定的答案， 而这正是戴维斯想要做的。

那么怎样才可以证明某些丢番图集是不可判定的呢？ 最好的办法就是设法把它与某一类已经知道是不可判定的集合联系在一起。 那么什么样的集合是已经知道不可判定的呢？ 正是上面提到的递归可枚举集。 因此在这两类集合之间建立关联是非常重要的。 尤其是， 如果有人可以证明所有的递归可枚举集都是丢番图集， 那么也就等于证明了某些丢番图集是不可判定的， 从而也就完成了对希尔伯特第十问题的否定解决。 这正是戴维斯的思路。

不幸的是， 在戴维斯找到的关联中用到了一个被称为有界全称量词 (Bounded Universal Quantifier) 的逻辑算符。 如果没有这个有界全称量词， 他就可以证明所有的递归可枚举集都是丢番图集， 一切就大功告成了。 可是数学证明是差不得分毫的， 因为有了这个有界全称量词， 戴维斯的逻辑链条中断了， 从而无法对希尔伯特第十问题作出解答。 但尽管如此， 戴维斯仍然相信所有的递归可枚举集都是丢番图集， 他把这一点作为一个猜测提了出来。 在当时的情况下， 这是一个很大胆的猜测。

要证明戴维斯的猜测， 关键就得把那个有界全称量词去掉， 这却是一件非常困难的事情。 直到九年以后， 即 1959 年， 戴维斯才在与哲学家普特南 (Hilary Putnam, 1926-) 的合作中有条件地做到了这一点。 但是他们为了做到这一点所付出的代价却是不得不引进两条额外的假设。 初看起来， 这象是不进反退， 原本只有一个麻烦， 现在反而变成了两个。 但数学假设的证明难度不是用数量来衡量的， 戴维斯与普特南所引进的那两条额外假设比那个有界全称量词来得具体， 因而处理起来要容易一些。 在发表这一研究的全文之前， 戴维斯与普特南决定听一听研究希尔伯特第十问题的另一位重要人物罗宾逊夫人 (Julia Robinson, 1919-1985) 的看法， 因此他们把结果寄给了罗宾逊夫人。 这一寄揭开了一段新的合作， 把他们的结果又大大向前推进了一步。

4. 罗宾逊猜想

罗宾逊夫人是数学界少有的女数学家之一。 与其他女数学家一样， 她一生在追求学术的过程中遇到过许多坎坷。 这些坎坷既有来自于社会的， 也有生活上的不幸。 罗宾逊夫人幼年时屡患疾病， 导致身体虚弱， 无法生育， 这一点曾使酷爱家庭的她陷入极度的痛苦之中。 后来 - 在她同为数学家的丈夫的引导下 - 是数学的力量让她渐渐摆脱了痛苦的阴影。 罗宾逊夫人的丈夫早年曾是她的数论教授， 帮助她打下了非常扎实的数论基础。 罗宾逊夫人自 1948 年起开始研究希尔伯特第十问题， 并曾经与戴维斯有过交流。 当她收到戴维斯与普特南寄来的结果时， 凭借自己的数论功底很快发现他们所作的两个假设中有一个可以去掉， 同时整个证明也可以作极大的简化。 1961 年， 戴维斯、 普特南及罗宾逊夫人合作发表了这一简化后的结果。 这一结果是戴维斯、 普特南的逻辑技巧与罗宾逊夫人的数论功底的完美结合， 它是希尔伯特第十问题研究中的又一个重要的进展。

但是在戴维斯与普特南所作的两个假设中仍有一个连罗宾逊夫人也无法去除。 那便是在他们的结果中用到了一种被称为 “指数丢番图集” 的集合， 这种集合类似于丢番图集， 但却涉及到指数函数。 倘若有人可以证明指数丢番图集实际上就是丢番图集， 那么戴维斯、 普特南及罗宾逊夫人的工作就完全了， 希尔伯特第十问题也就被证明具有否定的答案了。 但指数丢番图集究竟是不是丢番图集呢？ 却困住了这三个人。

对罗宾逊夫人来说， 指数丢番图集其实并不陌生。 早在 1948 年， 当她刚刚涉足希尔伯特第十问题的时侯， 就研究过由著名逻辑学家塔尔斯基 (Alfred Tarski, 1901-1983) 提出的一个猜测。 这一猜测认为指数丢番图集不是丢番图集。 经过一段时间的研究后罗宾逊夫人开始怀疑起了塔尔斯基的猜测， 因为她找不到任何证据可以支持这一猜测。 于是她转而猜测与塔尔斯基猜测相反的命题， 即指数丢番图集实际上就是丢番图集， 这个命题被称为罗宾逊猜想。 这也正是戴维斯、 普特南及罗宾逊夫人 1961 年的工作中唯一缺失的环节。 他们距离希尔伯特第十问题的解决只剩下了一步之遥， 但这一步却难似登天。

在罗宾逊夫人沉醉于希尔伯特第十问题的那些年里， 幼年患病所留下的后遗症一再困扰着她。 当年的一位医生甚至预言她的心脏机能受损严重， 也许活不过四十岁。 这一预测虽然很幸运地由于后来的一次成功的心脏手术而没有成为事实， 但每一年的生日， 罗宾逊夫人都要在吹熄蜡烛的时侯许愿， 希望能够看到希尔伯特第十问题的解决。 无论谁来解决都可以， 但一定要在她有生之年解决。 “我无法忍受在不知道答案的情况下离开人世” - 这是罗宾逊夫人的话。

时光一年一年地流逝， 罗宾逊夫人的愿望一次一次地落空。 那手握最后一把钥匙的人究竟在哪里呢？

在那个时候， 戴维斯也常常被人问到这一问题。 当时正是冷战时期， 对美国人来说世界上最遥远的地方莫过于是俄国。 戴维斯总是戏剧性地回答说： “那会是一位聪明的俄国年轻人”。 如果戴维斯是一位占星师的话， 这句回答足可让他震动天下， 因为他每一个字都说对了！ 一位聪明的俄国年轻人从世界的另一端走上了数学舞台， 他的名字叫做马蒂亚塞维奇 (Yuri Matiyasevich, 1947-)， 他将为这根长长的智慧链条扣上最后一环。

5. 解决

马蒂亚塞维奇于 1947 年出生在俄罗斯的圣彼得堡 (即苏联的列宁格勒)。 他十二岁时父亲就不幸去世， 但家境贫寒的马蒂亚塞维奇凭借优异的数学成绩在苏联的数学竞赛体系中脱颖而出， 获得了各种教育机会。 1965 年， 在他念本科的时侯， 他的导师马斯洛夫 (S. Yu. Maslov, 1939-1982) 建议他证明丢番图方程的不可判定性。 马斯洛夫轻描淡写地补充说 “这个问题也被称为希尔伯特第十问题， 但你不必理会这个”。 马蒂亚塞维奇说他对研究这类不可解问题没有经验， 马斯洛夫回答说不可解问题没什么大不了的， 无非就是把它约化成一个已知是不可解的其它问题。 他还告诉马蒂亚塞维奇说有几个美国人曾做过一些研究， 但不必理会那些研究， 因为它们 “很可能是不充足的”。

带着马斯洛夫的建议， 马蒂亚塞维奇开始研究起了希尔伯特第十问题。 但他的研究并不顺利， 他曾一度误以为自己已经解决了问题， 甚至开始准备做报告， 结果却发现自己犯了一个错误。 一段时间的徒劳无功之后， 他开始阅读起 “几个美国人” 的那些 “很可能是不充足的” 工作来， 但依然没有获得实质性进展， 倒是他作为 “研究希尔伯特问题的本科生” 的名声走红了校园， 不时遭来一些善意的取笑。 毕业的时间渐渐临近， 他只好把这个问题放在一边， 以便可以有时间做一些其它的工作 - 比方说应付毕业论文。

一晃又是几年， 到了 1969 年， 顽强的罗宾逊夫人又向希尔伯特第十问题做了一次冲击。 这一次虽然仍然没有成功， 但她为证明罗宾逊猜想提出了一条非常巧妙的思路。 罗宾逊夫人的结果发表后， 很快有同事把这一消息告诉了马蒂亚塞维奇。 但这时马蒂亚塞维奇早已决定不再把时间浪费在希尔伯特第十问题上了， 于是没有理会这一消息。 事情接下来的发展变得极富戏剧性， 用马蒂亚塞维奇自己的话说： “在数学天堂的某个角落里必定存在着一位数学之神 (或女神)， 不想让我错过罗宾逊夫人的新论文”。 由于他此前对希尔伯特第十问题的研究， 苏联的一份数学评论杂志把罗宾逊夫人的论文寄给了他， 让他加以评论。 就这样他终于看到了罗宾逊夫人的论文。 这一看之下马蒂亚塞维奇立即被罗宾逊夫人的思路所吸引，重新投入到了希尔伯特第十问题的研究上来。

在接下来的几个月里， 马蒂亚塞维奇一直在思索罗宾逊猜想。 1969 年在不知不觉间落下了帷幕。 在除夕夜的派对上， 马蒂亚塞维奇过于出神， 走的时侯竟然错穿了他叔叔的衣服离去。 这样全神贯注的投入终于获得了巨大的成功。 1970 年新年到来后的第四天， 马蒂亚塞维奇成功地证明了罗宾逊猜想， 从而一举解决了希尔伯特第十问题。 但有了几年前误以为解决希尔伯特第十问题的教训， 这一次他把文章交给了马斯洛夫及另一位数学家栗弗席茨 (Vladimir Lifshits)， 请他们检验， 然后携未婚妻出外滑雪度假。 两个星期后当他回到学校， 一切都变了， 他的论文经受住了以眼光犀利著称的数学家法蒂夫 (D. K. Faddeev, 1907-1989) 与马尔科夫 (A. A. Markov, 1903-1979) 的检验， 他成为了希尔伯特第十问题的解决者。

一月二十九日， 马蒂亚塞维奇做了有关他研究成果的第一次公开演讲。 那次演讲中的一位听众把这一成果带到了不久之后在西伯利亚诺沃斯比尔斯克 (Novosibirsk) 举行的一次数学会议上， 而那次会议的出席者中恰好有一位是罗宾逊夫人的同事。 就这样， 马蒂亚塞维奇解决希尔伯特第十问题的消息很快传遍了数学界。 那时候马蒂亚塞维奇还不满二十三岁， 正是一位 “聪明的俄国年轻人”。

二月十五日， 罗宾逊夫人接到了同事的电话， 告知她这一消息。 那一年的生日， 当罗宾逊夫人又将吹熄生日蜡烛时， 她停了下来， 忽然意识到自己许了这么多年的愿望已经成为了现实， 那是一种美妙的感觉。 虽然她自己曾经那么地接近答案， 却还是失之交臂， 但她没有觉得遗憾， 对罗宾逊夫人来说， 对数学真理的欣赏远远超越了任何个人的荣誉。 她在给马蒂亚塞维奇的祝贺信中这样写道： “让我特别高兴的是， 当我想到我最初提出那个猜想的时侯， 你还是个孩子， 而我不得不等待你的长大”。 戴维斯也非常兴奋， 他在自己的经典著作 《可计算性与不可解性》 的平装本序言中写道： “我一生最大的快乐之一是一九七零年二月读到马蒂亚塞维奇的工作”。 而年轻的马蒂亚塞维奇同样对戴维斯、 罗宾逊夫人， 以及在解决希尔伯特第十问题的漫长征途中做出贡献的所有前辈数学家表达了深深的敬意。

在二十世纪六七十年代那个寒冷的政治冬天里， 这些第一流的数学家们用他们的杰出工作划开了冷战的冰层， 让世人看到了科学的伟大人文力量。 按照罗宾逊夫人的说法， 这是一种存在于科学家心中的观念， 它跨越地理、 种族、 意识形态、 性别、 年龄、 甚至时代而存在， 过去、 现在及未来的所有数学家们彼此都是同事， 他们献身于一个共同的目标， 那便是最美丽的科学与艺术。

这是希尔伯特第十问题留给我们最丰厚的精神遗产。

 曹亮吉

研究数学史最主要的课题是了解一个观念或一支数学学门的发展过程，或者一个地区内、一段时间内的数学活动。但随着一股历史研究方向的多样化，许多人也尝试由不同的观点来看数学史。Crowe在《HistoriaMathematica》2(1975)发表的文章〈数学史中变革型态十律〉(ten”laws”concerningpatternsofchangeinthehistoryofmathematics)就是一个例子。在此我们想介绍Crowe所提的十律，并以他给的或者我们添加的例证，加以说明。

一、数学新观念往往不因创造者的刻意经营而产生，而是与其努力方向正好相反的副产品

十八世纪末的意大利数学家Saccheri为了证明欧氏几何是唯一的「真理」，从锐角假设出发，得出许多前所未闻的结果。殊不知他努力的结果，却使非欧几何学呈现一线曙光（注一）。Hamilton是另外一个例子，他看到二维的向量可以看成复数，和实数一样，可以做四则运算。所以他想在三维的向量中也引进四则运算。他奋斗了十几年，却毫无进展。直到有一天，灵光一现，放弃了乘法中交换律的要求，而创造了四元数（不是三维，而是四维）。

二、许多数学新观念虽然在逻辑上没有问题，但在其出现初期却遭到顽强的抗拒，要经过好一阵子方为大家所接受

不可共约比在两千多年前就出现了，但据说它的发现者Hippasus却遭到毕氏学派同门的放逐。解决不可共约比的实数观念一直要到十九世纪才为大家所接受。负数的平方根从1543年在Cardano公式中出现，直到1830年代，都是遭人詈骂，被人抗拒的对象。诡辩的、无聊的、无可理解的、虚幻的、不可能的等等，这些形容词都曾加在至今仍被称为“虚”数的身上（注二）。

三、许多新观念一时无法在逻辑上讲得清楚因而遭到抗拒，但由于其有用性，而使得数学家不得不容纳它们──纵使在很不情愿的情况之下

虚数当然是个最好的例子。向量的系数积与矢量积并不起于有意的发展，而是四元数的计算中习惯用法的延伸。集合论说有理数个数和自然数个数一样多，但又说实数个数比有理数个数还要多;无论是从包含的观点或从无穷多的观点来看，上述两种说法似乎互相矛盾。而且集合论的滥用，还会导出任谁都无法接受的真矛盾。但另一方面，有了集合论，许多数学叙述及推理变得更加言简意赅，无穷观念因而有了层次之分（并不是所有的无穷多都一样）。滥用引起不安，但好用却使人不得不接纳。

四、教科书中，许多数学领域之有条不紊的呈现，经常是该领域发展后期才有的，而且之所以走上严谨的道路，并不是创造者有意的寻求，而是不得不然耳

牛顿与莱布尼兹在乎的是发展微积分，并没给微积分立下严格的逻辑架构。他们一定不喜欢现今微积分课本的一丝不苟，甚至有些地方还看不懂呢！一般学生如果无法领会微积分的要意，往往会在它的逻辑问题上打转；学者对无穷小的攻击；学者希望微积分也像平面几何那样的有条有理。这些外在的因素才是促使微积分在十九世纪走向严格化的动力。严格的要求而且是渐近的。M.Kline曾说：“可能除了数论之外，在1800年之前，数学中没有那一分支所给的证明，以1900年的标准而言，是令人满意的，而1900年的标准，在今天也不适用了。”也许你会认为平面几何是个例外，其实直到1899年Hilbert才真正把其公理化做得彻底。

五、在同一个时期，数学家对数学知识的认定是多层的。一个数学家虽然不一定有明确的数学形上学观，但在他的作品中或在他的教学中就会有较明确的表白

二十世纪有所谓的直观学派、形式学派及逻辑学派之争。大多数的数学家不一定确属那一学派，但在其作品中有时可以看出来，他是比较赞同那一种观点。此外，我们对于一个领域、一个定理的内容、一个定理的证明，有时会加上漂亮的、丑陋的、有意思的、无聊的、好的、坏的等等形容词，这些都带有数学形上学的观点。

六、一个新的数学观念，其为人接受的程度，往往要看创造者的名气，尤其以打破传统的观念为然

Lobachevsky及Bolyai的非欧几何学，就像它们的作者一样默默无闻。Gauss死后，其有关非欧几何学的信件一经发表，这门新学问，才像Gauss生前的名声，一下子发展得红得发紫（注三）。

七、数学的创见往往在原来问题所限定的范围外成长。要突破自我设限却是件不容易的事

Hamilton认为他的四元数与微积分一样重要，是数学物理的主要工具。其实发明四元数的重要性不是四元数本身，而在于其影响代数的运算观念。在此之前，无论是实数或复数，四则运算都有其既定的规矩。四元数的乘法交换律不成立，使人逐渐觉悟运算的规矩可因需要而有不同的要求。这样向量代数的观念及运算才变成可能，而向量代数才是数学物理的主要工具之一。如此一来，代数学的观念与目的才变得更自由、更宽广。

八、好几个人同时而又独立地发现数学新观念，这是常态而不是例外

Descartes及Fermat的解析几何（注四），牛顿及莱布尼兹的微积分，Lobachevsky及Bolyai的非欧几何学（注五），Dedekind、Weierstrass及Cantor等人的实数理论都是耳熟能详的例子（注六）。

九、历来数学家总是拥有许许多多的技巧，以消解或避免逻辑矛盾所引起的问题，而使数学免于产生危机

科学史名著T.Kuhn的《科学革命的结构》(TheStructureofScientificRevolutions)就指出科学家用来防止异例引起危机的许多策略。I.Lakatos在《证明与否证》(ProofsandRefutations)的书中，也一再说明数学家应付危机也有许多法宝，“不让怪物进来”就是名字生动的一招。面对不可共约量，希腊数学家就说非比量（无理量）不是数，然后发明一套比例论来解决问题。面对微积分的基础问题，d’Alembert叫学生不要气馁，说持之有恒地用微积分，自然对微积分会有信心。集合论有问题，就设法为集合论设限，使其不产生危机。

十、数学从来没发生过革命

哥白尼的太阳中心说推翻了统治天文学千余年的地球中心说，使天文学掀起了革命。数学史上改朝换代的事情并未发生过。研究平行公理的结果虽然产生了许许多多非欧几何，但欧氏几何并没被推翻掉，它仍然是数学的知识。Hankel说过：“在大部分的科学学门中，新一代的科学家会把前一代所建立的理论推翻，……。只有在数学中，新一代的数学家是在旧有的基础上再添盖更高的楼层。”Fourier也说过：“数学这门科学是慢慢形成的，但只要一旦获得某种原理，就一直拥有着它；在人类思维的种种变异与错误之中，数学逐渐成长而茁壮。”

注一：参阅《科学月刊》第十五卷第一期(1984)〈欧几里得无瑕获释〉一文。

注二：参阅《科学月刊》第十六卷第一期(1985)本栏。

注三：参阅《科学月刊》第十六卷第一期(1985)〈代数学基本定理〉一文。

注四：参阅《科学月刊》第十五卷第十一期(1984)〈解析几何〉一文。

注五：参阅《科学月刊》第十五卷第二期(1984)本栏。

注六：参阅《科学月刊》第十四卷第一期(1983)〈实在而具体的数〉一文。

转自《科学月刊》

河北省燕山大学社科系　刘邦凡

一直以来，不论是在逻辑史学界，还是在数学史学界，对于中国传统数学中的逻辑思想与方法的研究没有得到应有的重视。但从下面我们简单论述来看，加强这方面的研究却具有显明的必要性。

一、从逻辑与数学的关系看

数学与逻辑的研究对象虽各不相同，但它们的性质、特点却有很多共同和类似的地方，正因为如此，才使得它们关系十分密切，在内容和方法上可以互相运用和相互渗透。

一般认为，数学是研究空间形式和数量关系的一门科学，逻辑是研究思维形式及其规律和方法的一门科学，但它们都完全撇开其内容，仅仅从形式方面加以研究，因而均具有高度的抽象性，所以在分类上它们同属于形式科学。同时，数学和逻辑的应用都十分广泛，往往成为研究其它科学的工具，因此常常同被人们称为工具性科学。

围绕逻辑与数学的关系讨论下去，曾经形成三种意见──逻辑主义、形式主义和直觉主义。其中逻辑主义、直觉主义，过多强调了数学和逻辑的同一性，而忽视了数学与逻辑的差异性。因此，认识数学和逻辑的关系，在于把握二者关系的辩证性──同一、差异又互补。

首先，肯定数学和逻辑的同一性。这是因为：

(1) 数学和逻辑都是高度抽象的学科，数学是研究数量的形式结构的，逻辑是研究思维的形式结构的，形式结构都是高度抽象的，是抽象结构，它们的定义、定理、原理、法则等的正确性均不涉及各种事物具体内容；

(2) 数学和逻辑都讲严格性，数学只有具有推理论证的严密性和结论的确定性或可靠性才成其为科学，逻辑也只有当它的推理论证严格而公理系统化时才形成科学；

(3) 数学和逻辑都具有广泛的应用性，数学的应用自不待言，对逻辑而言可以肯定地说哪里有思维哪里就要逻辑，一切科学都在应用逻辑。

其次，数学与逻辑的差异性也是明显的。一方面，数学和逻辑的研究对象不同，数学的研究对象是一切事物的数与量的属性，而逻辑学的研究对象是思维的形式及规律；另一方面，数学和逻辑的任务和目标不相同，数学的主要目标和任务是揭示客观事物的量和数的规律性，而逻辑的主要目标和任务却是为了解决思维推理形式的有效性或真值性问题。

最后，数学和逻辑二者有很强的互补性。

一方面数学可能得益于逻辑。从数学或其某一分支的产生和发展来看，它都是人对客观世界中抽象出某一空间形式或数量关系进行研究的成果。在其开始阶段，需要有一个有关经验材料的积累过程；进人提炼整理阶段，需要有一个组织和演绎的过程，最后才形成一个系统。无疑，在整个过程中都需要运用逻辑(开始阶段运用归纳逻辑多一些，在整理阶段则应用演绎逻辑多一些)，特别是由于数学是一门形式(或演绎)科学，它的结论的正确性不能建立在实验之上，能依赖于逻辑的推理证明，这是因为逻辑也是一间形式科学，其规则是普遍有效的，所以在应用中就能保证数学结论的正确性。数学一旦形成一个系统时(运用公理化方法)，它就由两部分构成，一是原始概念与公理，另一是定义和推理的规则，然后由原始概念依据定义规则逐次建立起其它的概念(所谓派生概念)，及由公理出发，借助于逻辑推理逐次得到进一步的结论(定理)，最后组成一个有机的整体。这里运用逻辑的规则和方法是它显着的特点，体现着它的结论的确定性和逻辑的严谨性。由此可以看出，逻辑对于数学来说确是十分重要的，如果离开了逻辑，就将成为一些经验材料的堆砌，也不可能成为一门科学。数学是高度抽象的学科，它的公式，定理、法则、原则等的正确性不可能由具体实验和经验实践来证明，只能从逻辑上加以严格演绎论证才被确认。如果没有逻辑，数学的大厦就无法建造，至少以说不能建构系统的公理化的演绎的数学科学，即现今意义上的数学是根本不可能存在的。

另一方面，逻辑的发展也要依靠数学的推动。很明显数理逻辑的诞生和发展是离不开数学方法应用的，当今逻辑学的发展更是需要站在相当的数学基础之上，离开了数学方法，当今逻辑学的最先发展就不可能实现，如果说传统形式逻辑向数理逻辑发展依靠的是数学方法的应用，那么当今或今后逻辑学的发展与进步也必须以广泛的数学方法应用为基础。

总之，数学与逻辑的发展是密切相关的，它们相互影响互相推进，数学发展影响和推进了逻辑的前进，反过来逻辑发展又影响和推动了数学的进步。

当然，上面的论述，并不是说我们对于历史文化的演进过程中逻辑与数学或者数学与逻辑的关系就是十分明晰的了，相反，我们对于历史的逻辑与历史的数学之间的关系一直没有清晰的认识，甚至于是十分模糊的，特别在我国的情况。因此，挖掘和梳理中国传统数学中逻辑内容，达到厘清中国传统数学与中国古代逻辑的关系具有十分重要的理论意义和指导现实的意义。

二、从我国逻辑史研究看

现今“逻辑学”一词是一个舶来品，不外是英文“Logic”的音译。对于它的不同理解则可能对中国古代文化中逻辑内容有不同程度的理解。说“中国古代无逻辑学”是可以理解的，说“中国古代有逻辑学”也是可以理解的，不同仅仅在于人们对于“逻辑学”概念的不同理解。事实上，“逻辑学”或“逻辑”的具体表现就是：在历史文化中存在有脱离了具体论述内容专注于对思维形式、思维方法、思维过程进行叙述的语言文字。当然，这样的语言文字可能是亚里士多德式的系统长篇，也可能是隐含在其它历史文献中的只言片语。也就是说，在一种历史文化中是否存在着“逻辑”，就要看这种历史的文化文献中是否存在过或存在着专门了论述我们现今称之为逻辑的文字。如果有，即使是只言片语，我们也可以说这种文化文献或历史典籍中存在“逻辑”。当然，存在的“逻辑”是系统的或可以独立成章的，那么，我们就可以说“存在的逻辑”文字可以构成“逻辑学”。例如，亚里士多德《工具论》中许多章节就构成“亚里士多德逻辑学”。当然，比较起《工具论》而言，尽管中国先秦的《墨经》存在我们上面所界定的“逻辑”文字，但显然不如《工具论》系统而独立，《墨经》中“存在的逻辑”还是只言片语，因此，称《墨经》中存在的逻辑为“墨经逻辑学”有些抬高的成分，倒不如说“墨家的逻辑研究”。也就是说，《墨经》中有Mohism’s Logic-study而没有Mohism Logic或Mohist Logic。借用现今的政治用语，如果说《墨经》中存在的逻辑文字是“逻辑学”的话，那也只是“初级阶段的逻辑学”。

是不是这种“初级阶段的逻辑学”在墨家中绝之后，就没有发展和进步的？或者说，这种“初级阶段的逻辑学”在墨家中绝之后命运如何了？是随墨家中绝而中绝了，还是蕴涵在其它文化中保留下来，甚至发展进步了并形成具有亚里士多德逻辑丰富内容的“中国古代逻辑学”。这些问题，在中国逻辑史研究中，一直得到足够的重视，一直未得出令人信服的回答。而要回答这些问题，我们认为，首先就要从那些与逻辑学联系紧密的学科历史文献中搜寻，尽管我国许多学者对那些论辩、言说、政治之类历史文献中的“逻辑”文字或“名家”文字，作过了系统的厘清与分析，这也许是人们普遍认为：不论是西方逻辑(以亚里士多德逻辑为主线)、印度逻辑，还是墨家的逻辑，其直接产生背景多少与当时的言说论辩之社会思潮有关。但事实上，人们一直忽视了这样基本问题：一个学科的理论之发展与进步，在很大程度上得益于与其学理相通的学科之刺激、促进和影响。显然，与逻辑学学理相通的学科，首先就是数学。而我国从事逻辑史研究的学者，实在是对中国传统数学关注得太少了。

因此，从研究中国逻辑史的角度看，对中国传统数学文献中是否存在“逻辑”的文字论述或逻辑的内容进行整理与分析，也是十分必要的。或许，通过我们的努力，从中找出许多有关“逻辑”的文字和内容，以支持或支撑“中国古代逻辑学”之存在；或许，我们找不到丰富的内容，即使这样，也确证了“中国古代逻辑学”也只能是一种“初级阶段的逻辑学”。总之，不论从那方面讲，加强对中国传统数学的逻辑内容之挖掘、整理与分析，都具有十分重要的学术意义和理论意义。

三、从中国数学史研究看

可以说，从西方数学传入中国之不久，中国数学史的研究就开始了。明清时代的筹算家与其说是数学家，不如说是数学史家，因为他们中的大多数人之工作或者他们的大多数工作对于当时数学(不论是中国还�