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What’s the Limit of Human Working Capability
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by G. Ron Chen (University of Houston) June 1998

“How can this be possible?”

                        This is a frequently-asked question that we hear, and that we also
                        ask when we don’t believe something can be done by others if it
                        cannot be done by ourselves.

                        When we learned that athlete Carl Lewis, a University of Houston
                        alumni, won nine gold medals in four consequent Olympic games,
                        which fall 12 years apart, we asked, “How can this be possible?”

                        What about mathematics?

                        Here is a giant master: the Hungarian mathematician Paul Erdös who
                        died on September 20, 1996, at the age of 83. He published about
                        1,500 mathematical research papers in his lifetime. You heard me
                        right: about 1,500 total.

                        Let’s say he started publishing papers at the age of 23. Then, 1500/60
                        = 25. That’s more than two research papers per month throughout 60
                        years. You counted it right: That’s more than two papers per month
                        over 60 years.

                       “How can this be possible?”

                       Perhaps you’re rolling your eyes, assuming that he produced a lot of
                       junk, or simply signed his name after the other authors. Then you got
                       him totally wrong. Mathematicians know Erdös made very fundamental
                       contributions to modern mathematics: the Ramsey theory, graph theory,
                       Diophantine analysis, additive number theory and prime number theory,
                       to mention just the most important aspects, not to mention that many
                       papers in these fields were written by himself.

                       “Well, still, how can this be possible?”

Looking for an answer? Check this out -

                      “A mathematical genius of the first order, Paul Erdös was totally obsessed
                      with his subject - he thought and wrote mathematics for nineteen hours a
                      day until the day he died. He traveled constantly, living out of a plastic bag,
                      and had no interest in food, sex, companionship, art - all that is usually
                      indispensable to a human life.”

                      - Oliver Sacks

                      On backcover of Paul Hoffman’s book:
                      “The Man Who Loved Only Numbers” Hyperion, New York, 1998.

                                                                                                                        

                            [FYI: My Erdös number is 2:
Paul Erdös - Charles K. Chui - G. Ron Chen:
                              1.  Borosh, I., Chui, C. K. and Erdos, P.: “On changes of signs in infinite series,”
                                      Anal. Math.  4(1), 3-12, 1978.
                              2.  Chui, C. K. and Chen, G.: Kalman Filtering with Real-Time Applications,
                                      Springer-Verlag, New York, 1st ed., 1987; 2nd ed., 1991; 3rd ed., 1999.

                                      ==>   Find out your Erdös Number

星期四, 十二月 27, 2007

在 MacOS X 上配置中文 LaTeX 环境
阅读此文档之前，我假设你已经比较了解如何使用 MacOS X 下的终端，并了解一些基本的 bash 命令，比如 mv, ls, cp, cd 等。如果你还不太了解，请搜索相应的文档。

在 MacOS X 上有多种 TeX/LaTeX 的实现程序，比如 teTeX （可以通过 Darwinports、Fink、i- Installer 或者 Gentoo MacOS 来安装）、CMacTeX、FasTeX、OzTeX 等，另外还有各种丰富的工具可供选择，你可 以到 MacOS X TeX/LaTeX Web Site 或者 TeX on MacOS X 上去找到它们。如果你只用 TeX/LaTeX  （后面用 LaTeX 来代替）来写英文文档，你安装完之后即可以进行使用了。

目前为止，LaTeX 在处理非罗马字符（包括斯拉夫字符、阿拉伯字母、印地文等）方面还很欠缺，尤其是 CJK 字符（即 Chinese,  Japanese, Korean 的缩写，通常称为远东字符集），它们占了 16 位 Unicode 字符的 60%，巨大数量的字符导致原先  8 位的 TeX 系统无法满意地处理它们。目前 TeX 世界里有三种方法来处理 CJK 字符：
其一，称之为 subfont scheme，将 CJK 字符映射到 256 个或者更少的字符上，然后可以使用原先 8 位的 TeX 系统对其进行 处理。许多包都是基于这种方式来处理 CJK 字符的，比如 CJK-LaTeX (Werner Lemberg，在 CTAN 中的位置 —  language/chinese/CJK/)、HLaTeX （Koaunghi Un，在 CTAN 中的位置 —  language/korean/HLaTeX）和 ConTeXt 中的中文模块（Hans Hagen，在 CTAN 中的位置 —  macros/context）。
其二，改写 TeX 系统，使之支持本地字符集。在中国大陆，比较流行的是 CCT （中国科学院数学与系统科学研究院，张林波）；在台湾，能够处理  big5 编码的有 PUTeX （台湾静宜大学资管系，蔡奇伟）、 ChiTeX （台湾中央大学数学系，陈弘毅）等。
其三，Omega，TeX 的 16 位 Unicode 扩展，其内部处理的字符默认为 16 位的 Unicode 。目前， Omega 还处于开发阶段。

在中国大陆，比较流行的是 CCT 和 CJK-LaTeX，其中 CTeX 网站上提供的 CTeX 套件大大方便了大家使用 LaTeX 来处理中 文。但遗憾的是，CCT 只支持 Windows 和 Linux 平台，其它改写后可支持中文的 TeX 系统也都不支持 MacOS X 。目前，在  OS X 上只有使用 CJK-LaTeX 来处理中文了（就我所知，如果谁知道有其它的方法，比如移植后的 Mac CCT 系统之类的，希望能够告 诉我： Exaos.Lee@gmail.com ）。本文简单谈谈我在 MacOS X 上配置 CJK-LaTeX 的一点经验，希望对同好有所帮 助。（此文档的内容稍做修改，也应该适用于 Linux/FreeBSD 等平台。）

测试平台： MacOS 10.3 (Panther) , Fink-CVS, teTeX 2.0.2, CJK 4.5.2

一、 TeX/LaTeX 系统的安装

在 MacOS X 下有多种方式可以安装使用 TeX/LaTeX，也有多种 TeX 系统可用，我使用的是 teTeX，也推荐你使用 teTeX， 因为这可能是在 Unix 平台上使用最广泛的 TeX 系统了，资源也相对丰富很多。你可以通过 Darwinports, Fink, i- Installer 或者 Gentoo MacOS 等各种方式安装 teTeX 系统，这里只简单谈谈使用 Fink 和  Gentoo MacOS 来安装 teTeX ，其余的方法请参见相应的包管理工具的使用说明。

1. 使用 Fink-teTeX

首先，到 Fink 的主页去下载最新的 Fink 发行版本，按照说明安装好 Fink 系统；如果你已经安装好了 Fink ，可以用命令 fink selfupdate 及 fink update-all 来更新你的系统。照说明进行即可，不赘述。

如果你想自己从头编译，使用命令：

————–
fink install tetex
————–

如果想安装已经编译好的版本，使用命令：

————–
sudo apt-get install tetex
————–

2. 使用 Gentoo MacOS

首先，到 Gentoo MacOS 的主页下载最新的 Gentoo MacOS 的包，按照说明安装好 Gentoo MacOS 系统。然后，使用命令 emerge sync 更新你的 Gentoo 系统。使用如下命令安装 teTeX ：

————–
emerge tetex
————–

（我希望自己能有时间写写 Gentoo MacOS 的使用说明。:-) ）

注意：我没有使用 Gentoo MacOS 的 teTeX，因为我已经安装了 Fink-teTeX ，如后叙述也都是在 Fink-teTeX 上 进行的。如果你使用的是 Gentoo-teTeX，比如 Gentoo-teTeX 的安装目录在 /usr/share/texmf ，而 Fink -teTeX 在 /sw/share/texmf 下，后文请自己作相应的修改。

建议你安装 teTeX 的时候，同时安装如下软件包：
1. Ghostscript 8
2. FreeType 和 FreeType 2
3. wmf and iconv conversion support
4. ImageMagick

二、安装 CJK 包

如果你已经对 TDS (the TeX Directory Structure) 比较了解，可以略去此段。

teTeX 以树状目录来组织字体、宏、文档和其它的文件（称之为主 texmf 树），这个树状目录结构称之为 TDS，这是 TUG  (TeX User Group) 的 TWG (Technical Working Group) 的开发标准。TeX 包的安装一般放在相应的  TDS 目录下即可。TDS 的根目录可以有多个，这由变量 $TEXMF 来表示， TEXMF 是 ”TeX and METAFONT” 的缩 写。打开一个终端，使用命令 kpsewhich -expand-var=’$TEXMF’ ，就可以看到你的 TeX 系统中有哪些 texmf 目 录树是可用的。比如在我的系统中是这样的：

———–
/sw/share/texmf/doc/tetex>$ kpsewhich -expand-var=’$TEXMF’
{/Users/exaos/Library/texmf,!!/sw/share/texmf-local,!!/sw/var/lib/texmf,!!/sw/share/texmf}
———–

Fink-teTeX 系统的主 TDS 目录在 /sw/share/texmf 下（如无特别说明，后面的 $TEXMFMAIN 即指代此目录，而  $TEXMF 指代任意一个 texmf 树）。由于 texmf 的树目录可能非常大，在每个 texmf 的主目录下都有一个文件 ls-R，这是 一个文件名数据库，用来加速文件的搜索。你可以用命令 sudo mktexlsr 或者 sudo texhash 来更新各个 texmf 树下的  ls-R 文件名数据库。更详细内容参见 TDS 的说明：”A Directory Structure for TeX Files”，即文件 $ TEXMFMAIN/doc/help/tds.dvi （对于安装好的 teTeX 系统，你可以用命令 dvipdf tds.dvi 来生成  pdf 文档，�
缓笫褂妹� open tds.pdf 来打开阅读）。

LaTeX 宏包的安装很简单，一般先将宏包放到 $TEXMF/tex/latex/ 目录下，然后用命令 sudo texhash 或 sudo mktexlsr 更新所有的 texmf 树下的 ls-R 即可。

在 $TEXMFMAIN/web2c/texmf.cnf 中有这样的几行：

———–
…
HOMETEXMF = $HOME/Library/texmf
…
TEXMF = {$HOMETEXMF,!!$TEXMFLOCAL,!!$VARTEXMF,!!TEXMFMAIN}
———–

这意味着你的用户目录下的 Library/texmf 就是一个 TDS 的结构，不需要修改系统的 TDS，只需要将你需要的 TeX 包安装在 Library/texmf 下即可。

创建你的本地 texmf 树目录 $HOMETEXMF，即 $HOME/Library/texmf 。后面所有的配置将根据此目录进行，如果你更换目录，请自行做相应的修改。同样，如果后面提到的目录不存在，请自行创建相应的目录。

小技巧：在终端下创建带有子目录结构的目录时，可以用命令 mkdirhier ，比如你需要创建目录 pdftex/config ，你不需要先创建  pdftex 然后进入此目录后再创建 config ，直接用命令 mkdirhier pdftex/config 即可。 mkdirhier  相当于 mkdir -p 。

到 CJK package for LaTeX 或者任何其它的地方去下载最新的 CJK-LaTeX 包，目前最新版本为 4.5.2 。CJK 的 安装很简单，解压后，将整个目录移到你的本地 TeX 目录树中，即 $HOMETEXMF/tex/latex ，然后更新 ls-R ：  sudo texhash 。

这样，你已经安装好了 CJK-LaTeX ，但你还不能它来处理中文，因为你还需要相应的中文字体和字符映射表，否则 TeX 无法识别你文件中的中文字符。

三、安装相应的编码支持和字库

[1]. 处理使用 Unicode 编码的中文 LaTeX 文档

Pai H. Chou 在他的个人主页上提供了一份配置文档：How to make LaTeX(teTeX)  handle unicode and CJK in MacOS X 。这儿的说明即根据这份指南修改而来。在此向 Pai H. Chou 表示感 谢。

在你已经安装完 teTeX 和 CJK-LaTeX 之后，你需要按照如下的步骤配置你的 TeX 系统，使之能够处理 Unicode 的 CJK LaTeX 文档。

1. 安装 UCS 包

UCS 包使 LaTeX 文档支持 UTF-8 字符的处理。
a. 下载 UCS 包：http://www.unruh.de/DniQ/latex/unicode/unicode.tgz
b. 用命令 tar zxvf unicode.tgz 来解压这个文件包
c. 将解压后的 ucs 目录移动到 $HOMETEXMF/tex/latex 下
假如你下载的文档在 $HOME/Temp 下，你进入终端后，可以这样操作：

————
$ cd ~/Temp
$ tar zxvf unicode.tgz
$ mv ucs ~/Library/texmf/tex/latex
————

2. 安装 Unicode TrueType 字体（Cyberbit）

a. 下载 Cyberbit.ZIP 文件： ftp://ftp.netscape.com/pub/communicator/extras/fonts/windows/Cyberbit.ZIP
解压后，会产生相应的 .ttf 字体。将文件 Cyberbit.ttf 重新命名为 cyberbit.ttf （注意，是小写字体，因为 LaTeX 对大小写敏感）。

b. 安装 .tfm 和 .enc 文件
(i) 有两种方法得到这些文件
(i.1) 自己生成
(a). 下载 Unicode.sfd 文件： http://delloye.free.fr/Unicode.sfd
(b). 将 cyberbit.ttf 和 Unicode.sfd 放在同一个目录下，比如 ~/Temp
(c). 在终端下进入此目录，运行命令产生所需要文件：

————-
$ ttf2tfm cyberbit.ttf -w cyberbit@Unicode@
————-

(i.2) 如果你没有 ttf2tfm ，下载 Pai H. Chou 生成的.tfm 和 .enc 文件。
(ii) 将所有的 .tfm 文件移动到相应的位置。按照上面的规则，应该放在 $HOMETEXMF/fonts/tfm/bitstream/cyberbit/ 下。
(iii) 将所有的 .enc 文件移动到相应的位置。同上，应该放在 $HOMETEXMF/pdftex/enc/cyberbit/ 下。

c. 安装 cyberbit.map 文件
(i) 下载文件： http://delloye.free.fr/cyberbit.map
(ii) 将该文件移动到相应的位置。同上规则，应该放在 $HOMETEXMF/pdftex/config/ 下。

d. 安装 c70cyberbit.fd （可选择安装 .fdv 文件）
(i) 下载文件：http://delloye.free.fr/c70cyberbit.fd
如果你想坚排版文档，你需要文件 c70cyberbit.fdv 。不过，出了问题要自己负责，此文件是 Pai 由 c00bsmi.fdv 生成的。
(ii) 将文件移动到相应的位置。同上规则，应该放在 $HOMETEXMF/tex/misc/ 下。

e. 将字体 cyberbit.ttf 移动到相应的位置。同上规则，应该在 $HOMETEXMF/fonts/truetype 下。（如果字体放 到指定位置后，后面的测试不通过，可以检查一下你的 $TEXMFMAIN/web2c/texmf.cnf 文件，其中的 TTFONTS 变量应该指 向相应的路径。不过，一般不用担心，只是在出问题的时候再检查。）

3. 配置 pdfTeX，使它能够找到新字体

这时候，你的 $HOMETEXMF 下应该除了目录 tex/, pdftex/, fonts/ 之外，什么都没有。打开终端，进入 $HOMETEXMF/pdftex/config/ （如果没有此目录，创建一个）下：

————-
$ cd ~/Library/texmf/pdftex/config/
$ cp /sw/share/texmf/pdftex/config/pdftex.cfg .
$ echo ”map +cyberbit.map” >> pdftex.cfg
————-

然后，更新一下 texmf 树文件名数据库：

————-
$ sudo mktexlsr
————-

这样，你的 LaTeX 已经可以支持 Unicode 编码的中文文件了。

4. 测试

把下面一段文字拷贝到 test-CJK-ucs.tex 文件中（注意，一定要以 UTF-8 编码格式保存）：

————————————————————————————–
\documentclass[a4,11pt]{article}
\usepackage[encapsulated]{CJK}
\usepackage{ucs}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\newcommand{\cntext}[1]{\begin{CJK}{UTF8}{cyberbit}#1\end{CJK}}

\begin{document}
\cntext{在这儿输入的是 UTF-8 编码的中文字符，使用的是 cyberbit 字体。你可以任意修改。}
\end{document}
————————————————————————————–

然后使用命令 pdflatex test-CJK-ucs.tex ，将会生成 test-CJK-ucs.pdf 文件。试试吧。

［注意：2004年8月之前版本的 ucs 使用 \usepackage[utf8]{inputenc}，之后应该改为 \usepackage[utf8x]{inputenc} 。］

5. 常见问题

问：我遇到了这样的错误信息——“

mktexpk: don’t know how to create bitmap font for cyberbit59.

”（或其它类似的信息），怎么办？
答：很可能是你的 $HOMETEXMF/pdftex/config/pdftex.cfg 文件没有修改正确，或者你的 cyberbit.map 文件没有放在指定的位置上。重新检查文件是都都在相应的位置并检查修改 pdftex.cfg 文件。

6. 最简单的安装办法

我已经将上述安装中所有需要的文件打成了一个包，你可以到这里下载：
http://exaos.spymac.net/archive/CJK-ucs-archive.tar.gz
然后按照上述的步骤一步步进行即可。

当然，最简单的安装办法是到这儿下载我已经配置好的 texmf 压缩包：
http://exaos.spymac.net/archive/texmf-CJK-ucs.tar.gz
解压后，将目录 texmf 移动到 ~/Library 下，然后在终端里执行命令 sudo texhash ，你就可以使用  Unicode Cyberbit 字体处理 UTF-8 编码的中文 LaTeX 文件了！简单吧？不过遗憾的是，只有一种字体  Cyberbit ，我没有找到其它的中文 UTF-8 字体。所以，我不得不配置了后面支持 GBK 编码的中文 LaTeX 系统，唯一的好处就是 字体花样多了许多。

[2]. 处理使用 GBK 编码的中文 LaTeX 文档

处理 GBK 编码的 LaTeX 文件，其实安装完 CJK 之后只差一步了，就是根据要使用的中文 TrueType 字体生成相应的 .tfm 和 .enc 文件了。这一步其实是出问题最多的地方。

1. 准备好 TrueType 中文字体

在 MacOS X 系统中有默认的简体中文字体。将 /Library/Fonts 目录下的这些中文字体文件链接（ln -s）到 $HOMETEXMF/fonts/truetype 目录下：

————————————
stsong.ttf     （华文宋体）
stfangso.ttf   （华文仿宋）
stkaiti.ttf    （华文楷体）
sthei.ttf      （华文黑体）
stzhongs.ttf   （华文中宋）
sthupo.ttf     （华文琥珀）
stliti.ttf     （华文隶书）
stxingka.ttf   （华文行楷）
stcaiyun.ttf   （华文彩云）
stxinwei.ttf   （华文新魏）
————————————

2. 准备生成 .tfm 和 .enc 文件

生成 .tfm 和 .enc 文件是配置中文 LaTeX 系统最繁的一步，也最容易出错。你可以使用 FreeType 提供的工具自己一步步来进 行，但其中的麻烦你自己去享受好了。很感谢 energy 和王垠，由他们开发和修改的程序 gbkfonts （见王垠的主页）大大方便了这一过程。

(1). 下载 gbkfonts 程序

你可以到王垠的主页上去下载 gbkfonts-linux 那个源码包，然后稍作修改，即可编译使用。你也可以到这儿下载我修改后可以直接在 Fink 下编译的源码包：
http://exaos.spymac.net/archive/gbkfonts-osx-0.3.tar.gz
解包后，按命令 make 即可进行编译。不过，该包中已经包含了一个可执行有 Mach-O 程序 gbkfonts，那是我编译好了的。你可以在自己的机器上试试能不能执行，如果不能，再自己编译。注意，你必须已经安装了 FreeType 程序。

(2). 用 gbkfonts 生成 .tfm 和 .enc 文件

a. 有了 gbkfonts ，后面的步骤就简单多了。比如我想把 stsong.ttf （华文宋体）对应为 song ，把 gbkfonts 拷贝到 $HOMETEXMF/ 下，运行命令

————————-
./gbkfonts /Library/Fonts/stsong.ttf song
————————-

则会在当前目录下自动生成各种 TeX 配置文件：

————————-
cid-x.map
cjk.map
dvipdfm/config/gbksong.map
dvips/chinese/gbksong/*.enc
fonts/[afm, tfm, type1]/chinese/gbksong/*
pdftex/config/gbksong.map
tex/latex/CJK/GB/c19song.df
pdftex.cfg
ttfonts.map
————————-

b. 把 cjk.map 移动到 $HOMETEXMF/dvips/config 下，然后在文件 $ HOMETEXMF/dvips/config/config.ps （如果没有这个文件，把 $ TEXMFMAIN/dvips/config/config.ps 拷贝过来）的末尾加上

————————-
p +cjk.map
————————-

c. 再在 $HOMETEXMF/pdftex/config/pdftex.cfg 的末尾加上

————————-
map +gbksong.map
————————-

d. 将 cid-x.map 移动到 dvipdfm/config/ 下。其余的文件，比如 pdftex.cfg, ttfonts.map 都可以删除了。

e. 执行 sudo texhash ，刷新一下 ls-R 数据，就可以在 CJK 中使用宋体字了。

注意，gbkfonts 生成的目录是 tex/latex/CJK/GB ，由于 TeX 是大小写敏感的，如果你的 CJK 安装在 $ TEXMF/tex/latex/cjk 下，不妨将其目录改为大写名称。（HFS+ 文件系统是大小写不敏感的，因此 cjk 和 CJK 是相同的， 但我还是有点不明白，为什么 TeX 还能够区别出来呢？）

如果你有许多字体，执行 gbkfonts 会费很长时间。那么，不妨把一批字体写在一个 bash 脚本中，比如 generate-confgs.sh ：

————————-
$!/bin/sh

./gbkfonts fonts/truetype/stsong.ttf    song
./gbkfonts fonts/truetype/stkaiti.ttf   kai
./gbkfonts fonts/truetype/stfangso.ttf  fang
./gbkfonts fonts/truetype/stliti.ttf    li
./gbkfonts fonts/truetype/stzhongs.ttf  zhsong
./gbkfonts fonts/truetype/stxingka.ttf  xingkai
./gbkfonts fonts/truetype/stxinwei.ttf  xinwei
./gbkfonts fonts/truetype/stcaiyun.ttf  caiyun
./gbkfonts fonts/truetype/sthupo.ttf    hupo
./gbkfonts fonts/truetype/sthei.ttf     hei

# ./appendconf ~/Library/texmf

# sudo texhash
————————-

按一个命令 sh ./generate-configs.sh ，然后到外面慢慢地品上一杯咖啡，聊聊天，回来后差不多应该完成了。在  gbkfonts-osx-0.3.tar.gz 包里有一个 bash 脚本 appendconf 。执行完上面命令后，再命令  appendconf $HOME/Library/texmf ，对相应的配置文件进行修改。最后，再执行一个命令 sudo texhash （执 行了好多次喽，呵呵），你的中文 TeX 就配置好啦！

3. 测试

我把自己的测试文件打成了一个包：http://exaos.spymac.net/archive/CJK-samples.tar.gz
你下载解包后就可以测试啦。注意，如果你使用了不同的字体，自行修改即可。

4. 常见问题

如果你使用 simsun.ttf ，在执行 pdflatex 时会出现诸如找不到字体等问题，那是 simsun 的问题，不是你的。这时候，你先用 latex 产生 .dvi 文件，然后用 dvipdf 就可以生成 pdf 了。

[3]. 写给那些“懒人”

这一段是写给那些所谓的“懒人”的啦。你只要按照下面的步骤进行，基本上不会太大问题的：
1. 安装 Fink、teTeX、freetype
2. 下载
a. http://exaos.spymac.net/archive/texmf-CJK-ucs.tar.gz
b. http://exaos.spymac.net/archive/gbkfonts-osx-0.3.tar.gz
或者 http://exaos.spymac.net/archive/CJK-GBK-execs.tar.gz
c. http://exaos.spymac.net/archive/CJK-samples.tar.gz
3. 解压 texmf-CJK-ucs.tar.gz 后，将 texmf 目录移到 ~/Library/ 下，然后执行 sudo texhash 即完成 CJK-UCS 的配置。
4. 解压 gbkfonts-osx-0.3.tar.gz 或者 CJK-GBK-execs.tar.gz ，然后将可执行文件  appendconf, gbkfonts 拷贝到 ~/Library/texmf/ 下。如果你解压的是 CJK-GBK- execs.tar.gz ，其中还包括一个 bash 脚本 generate-GBK-fonts.sh ，你可以参照它修改执行后，即完成了  CJK-GBK 的配置。
5. 解压 CJK-samples.tar.gz 文件，然后，看看这些示例能不能编译成功。当然，如果你的字库和我的不同的话，自行修改哦。

四、其它的工具

[1]. 文档编辑器

1. Emacs + aucTeX

你可以使用 X11 下的 Emacs + aucTeX 来编辑中文 LaTeX，使用 fcitx 来输入中文。Linux 下的 fcitx 输入 法可以在 OS X 上安装，但无法与 Apple X11 一起使用。你可以安装 XDarwin 或者 Fink-XFree86 ，然后到渤麦堂去 下载 fcitx info 或者编译好的版本。
不过，我推荐使用 Carbon Emacs ，你可以到这里下载，它比 X11 Emacs 更方便。 Carbon Emacs 的中文配置可以参见我的 blog 09 月 30 日的 条目。
2. iTeXmac 和 TeXshop

虽然很好，但对中文编码的支持不是很好，很遗憾。如果你不使用中文也就无所谓了。
3. 其它的编码器

就看你的喜好了。

[2]. 拼写检查

1. Excalibur

作者： Rick Zaccone
主页： http://www.eg.bucknell.edu/~excalibr/excalibur.html

[3]. BibTeX 的处理工具

1. BibDesk

我比较喜欢它
主页： http://bibdesk.sf.net
2. JabRef

用 Java 写的跨平台的 BibTeX 工具
主页： http://jabref.sf.net

愛因斯坦說：「在人類的歷史上，能夠結合物理實驗、數學理論、機械發明成為科學藝術的人，只有 一位—–那就是牛頓。」 牛頓發現萬有引力定律; 發明微積分; 首先提出 可見光是由紅橙黃綠藍成為七個分光組成；他將數學 導入科學，使物理、化學成為更為更精確的學問；在牛頓 的運動力學三定律裡，奠定了數學成為描述宇宙運動 的語言。種種傑出成就，為他羸得今日「歷史上最傑出的科學家」與「近代物理學之父」的尊稱。
市面上有許多牛頓的傳記，大多歌頌牛頓的科學 成就或是提到那顆掉到地上的蘋果，卻遺漏或扭曲了 牛頓的信仰。 例如牛頓在解釋宇宙間為什麼會存在萬有引力， 他基於科學的假設說：「宇宙間可能有一種物質叫乙太（ether），是引力的傳導。」結果有本著作中翻譯成：「宇宙間存在有諸神，諸神是引力的傳達。」硬是把牛頓扭曲成了多神教徒。 本文的目的在於：很據牛頓自己的手稿，說明信仰在牛頓科學出涯中所佔的地位。

哈拿的禱告
牛頓 (Issac Newton)生於1642 年 12月25日午夜，是一個早產兒。在那個嬰兒死亡率很高的年代，一個早產兒能夠活下來是很少有的事。牛頓的父 親是不識字的農夫，與個性堅強的妻子哈拿．艾思克 一起經營在英國為烏斯扥普的小農場，夫妻倆都屬於「清教徒」—–一群信仰堅定的基督徒。 在牛頓出生前三個月，他的父親病逝，缺乏人力 的小農場沒有收成，家境更是貧窮。等到牛頓出生時，家徒四壁，哪有錢去購買營養品來餵養這個早產兒? 哈拿才死了丈夫，眼看惟一的孩子也要死了，在 最絕望的時候想起聖經上也有一個名叫哈拿的女子， 在難過時向上帝的禱告：
「你若垂顧婢女的苦情， 眷念不忘背婢女， 賜我一個兒子， 我必使他終身歸與你 」（撒母耳記上一章11節）
牛頓的母親懷抱著她的早產兒，向上帝發出同樣的禱告。
筆記間的沈思記錄
在牛頓的一 中，母親的這個禱告對於他的個性與信仰他有很深刻的影響。牛頓在成長過程留下的最早記錄就是他的禱告，他經常在課堂筆記空白處記下禱告，例如在一六六二年，他大學二年級時寫下：
上帝啊！ 若我心偏於邪惡，請勿成全我；
不容我單靠自己的信念去生活；
不以愛上帝做為我不愛人的藉口
不是為得祝福來跟隨你；
不是只在教會中渴慕你
讓我做個敬畏你的人，
且因著敬畏你，
而不畏懼人。
午頓經常思索上帝當年聽他母親的禱告，上帝讓 他活下來一定有些事是要他去完成的。
到牛頓三歲時，因為家裡實在太窮，母親只好再嫁給鄰村一位六十三歲的鰥夫—– 巴拿巴．史密斯牧師。史密斯牧師靠著微薄的薪水把牛頓養大，八年後過世，母子倆領了一些輔恤金，牛頓下課後還要替人看牛管馬才夠生活。
牛頓的風箏
原來牛頓住的烏靳扥普村，是英國生產馬車最有名的地方。這裡的小孩長大後的願望大多是做個馬車伕。牛頓可不同，他的個性安靜，尤其史密斯牧師給他留下一大堆包括聖經、神學、詩歌、數學、歷史、 法律、機械等類的書籍，成為他家裡最好的寶藏。他經常在藏書的閣樓看書，連看牛看馬時也帶著書去看。他的母親在一旁靜靜地觀察，發現這小孩真有點不同。
牛頓進中學時，開始顯出他的特殊天才。 學校要做風箏，許多學生立刻動手去裁紙、綁支架，牛頓卻先在書桌上放一張紙，仔細設計風箏的尺寸，計算一番才開始動手做。他的風箏交得最慢，但是一試飛，讓全班同學連老師司扥克斯都嚇一 跳：牛頓的風箏怎麼飛那麼高又那麼快?
事後司扥克斯老師對牛頓的母親說，無論如何要讓這個孩子去唸大學。哈拿微微一笑：她早就準備好這孩子的大學學費了。
一六六一年六月牛頓進劍橋大學。當時劍橋大學 的紈姱學生流行喝酒、打牌，稱這是「單純的娛樂」。牛頓是個窮學生，母親存的錢只夠付學費，他必須為老師做實驗的助手，才能賺取生活費。如此無意中使他接近當時劍橋的優秀教授承襲了這些教授一生的研究精華，成為牛頓後來的名言：「我看的比別人遠，是因我站在巨人的肩頭上。」
一所大學的優秀，決定於三個條件：一、老師的素質 二、圖書館與儀器設備，三、 學校的建築物與校園的氣質。其中尤以第一項最為重要。許多人進了大學，不曾漫步在大學的迴廊，不曾倘佯在大學的草地上呼吸學術的自由，真是浪費大學的資源。
好學的牛頓在劍橋大學不但不浪費任何資源，還遇到了影響他一生的好老師。
牛頓的讀書法
亨利．摩爾是影響牛頓科學與信仰最深的老師。摩爾是數學家，也是位虔誠的基督徒，他說：「上帝創造這個世界的目的，是要使人認識他，尋求他，感謝他。若有人輕看這世界奇妙的受造物，要看到世界所沒有的才算神蹟，那是自大。」摩爾認為把數學放在教育中的目的在於：「教育是一種道德與思考的培育，數學課程的設立是為了訓練學生，使他們 的思考更精密。長期受數學教育，對學生是一種有壓力的操練，為的是要激發一個人有刻苦的心志。有刻苦的心志才能使人長期持守道德的準則，而道德的準則來自上帝。因此數學與信仰是相輔相成的。」
摩爾教授以一個老師對學生的敏銳直覺，一下子就發現牛頓的不同。他發現牛頓每學期開學以前， 先利用假期，將要上課的所有課本都看完，等到上課時，牛頓已經在看比那門課更進階的研究報告了。
牛頓自己也寫道：「當我走進教室上課時，常發現對上課內容的瞭解深度，已經超過了我的老師。」 這種讀書法會令一般老師備受壓力，摩爾卻找牛頓來，給他更深的書，像開普勒 的「光學」，桑德森的「邏輯學」，並把自己擁有的一千八百本藏書 ，成為「隨時向牛頓開放的圖書館」 摩爾也長期支付牛頓的生活費。
除了讀書方法與人不同之外，牛頓因為家裡貧窮，仔細記錄他的支出，他認為「用錢謹慎將是基督生活的基本學習」。
牛頓經常在日記中或課本空頁寫下自己的禱告， 有些記載仍保存在大英博物館中。他寫道：「企圖光以迫切禱告祈求上帝的祝福，來取代自己所該付出的努力，是一種不誠實的行為，是出於人性的懦弱。」 我想牛頓大概不會做那種「禱告後，考試都考到我昨夜剛讀到的。」之類的見證，因為這樣，上帝對平時用功的學生就太不公平了。踏實的信仰絕非尋找成功的捷徑。
金錢的享受對一個窮學生是一種莫大的吸引，牛頓寫下：「主啊，赦免我，因為我的心想以賺錢為樂，多於渴想你的同在。—–但是在主曰擘餅（聖餐）聚會裡，我的心又重新與你聯合。」牛頓和他的室友魏克金斯經常在校外分發聖經給窮 人，向他們傳福音，購買要分發的聖經成為牛頓學生生涯中除了房租與伙食費外最大的花費。
蘋果與花園
一六六四年，牛頓開始利用課餘進行自巳的研 究。他首先以三菱鏡研究光的結構，發現光的分光有不同的折射率。
一六六五年至一六六七年，英國發生可怕的黑死病，死了許多人。大學宣佈停課，政府並且下令所有 人不准離家遠行，以免傳播或感染黑死病。當全國籠罩在黑死病的陰影下，風聲鶴唳之際，牛頓事後寫道：這兩年多沒課可上、沒地方可去，是他「人生思想邁向顛峰的時刻」。在這時他由無窮等比級數的解法裡創立了一門很重要的數學——–微積分。
事後有人問牛頓，為什麼他能夠有這麼偉大的發現，牛頓答道：「我始終把思考的主題像一幅畫般擺在面前，再一點一線的去勾勒，直到整幅畫慢慢的凸顯出來。這需要長期的安靜與不斷的默想。」
牛頓對科學的思索與他的禱告生活有密不可分的關係。他常在信仰的思索裡想到科學，在科學的思索 他想到信仰。在一六六六年他開始思索地球在軌道上的運轉，並且計算運轉時的電力與離心力的關係，一 六六九年他在筆記上寫下他的發現——-萬有引力定律 （Law of Gravity)。你知道嗎? 宇宙裡如果沒有這一條不變的定律，所有的物體， 小至一粒沙，大至一個星球，都將亂飛亂撞，成為混沌（chaos)。
牛頓是在什麼情況下發現萬有引力定律的呢? 他的好友史塔克利答道：「牛頓經常在花園散步，有一天中午他回來了，對我說他看到一位蘋果掉到地上，想到了萬有引力。」這粒蘋果後來成為牛頓發現萬有引力的標誌，其實更重要的是，牛頓有獨自來到花園禱告與默想的習慣。
紐約大學歷史系教授曼紐，一九六八年在他所著的（牛頓傳》中寫下：「近代的科學是源自牛頓對上帝的默想。」
啊 ，原理！
當時許多科學家、教授都看不懂牛頓的傑出發現，甚至譏諷為：「又是一群解釋天體論的陳腔濫調。」幸好這時有貝若（Isaac Barrow)的支持。
貝若是當時歐洲的光學泰斗，劍橋大學首屈一的數學與天文教授，是少數能仔細驗證牛頓數學與物理觀念的人，也是一位基督徒。他找牛頓來，對這個 最優秀的學生，私下給與最嚴格的要求。貝若要求牛頓：「回到物理學上最基本的假設，精密地驗證每個假設，一次、一次又一次，幾乎無止境地反覆驗證， 並把所有的精力都投入，以免浪費在無用的芝麻小事 上。」然後貝若申請退休，讓才二十七歲的牛頓接續他的職位，成為劍橋大學的教授。
劍橋的教職並不是牛頓的桃花源。當時貝若的職位有多少人在背後垂涎，牛頓一接任，立刻嚐到號稱學術自由、獨立的大學裡面，眾多的派系紛爭、人事傾軋；喜歡安靜思考、不愛交際的牛頓，也被排擠成為權力圈外的邊緣人。
牛頓的老友魏克金斯寫下：「牛頓看起來更孤獨、沉默，三十歲不到，頭髮已經半白。」
牛頓立志不涉入這些糾紛，他定睛永恆，不管人家怎麼論斷、怎麼中傷他，只把努力放在科學的研究，與對基督的信仰上，而不陷入被中傷後的自憐中。牛頓寫下：「我的心經常是認真與安靜，不陷入憂鬱。」
慢慢的，他將更深的思索與實驗結果寫成曠出名 作《原理》（Principle) 一書。這本書不只記載牛頓的科學發現，也反覆提到他的「機械論」與神的關係，他說真神與假神的差別是假神沒有掌管宇宙，沒有不變的旨意，沒有最後的判決，屬於必朽壞的受造之物。
書中不斷提到「掌管」（dominant）這個字，他認為這是神的屬性裡，最神聖又是最奇妙的，讓尋求他的人可以明白；機械論做為神掌管宇宙的法則，是神擺在宇宙裡讓人明白他能力的法則。愛因為坦說：「宇宙裡最奧秘的，就是人竟然可以去明白這個宇宙。」
牛頓在《原理》一書中寫著：
如同生來是瞎眼的人不瞭解光，
我們無法明白神的智慧與全能。
神的形像沒有人看到、聽到、接觸到，
更不是世上必朽壞的假神所能代表，——-
我們只能在他所創造的萬物中瞭解他，
他仍在掌權，
我們都在他的掌管下。
而假神沒有掌管的權柄，
沒有永遠的看顧，
沒有創世的起初，
不過是虛無、有限，與大自然一樣。——-
因著神的掌權，我們稱他是主（Lord)。
我們是他的僕人，不過是有限與不完全。
死蔭的幽谷
一六七二年牛頓加入英國皇家科學協會——全國最高的科學研究協會。〈原理》的出版，對全歐洲的科學界是一大震憾，引來稱讚也招來攻擊。雖然如此，牛頓仍在皇家科學會裡提出「星球運轉橢圓軌道的原理」（1676~1677年），與「萬有引力的數學證 明」（1680~1684年）。 牛頓的學生艾斯頓後來寫道：「牛頓講話慎重、緩慢。他儘量避免意氣之爭，不見利忘義，不奉承人，寧願默默忍受侮辱，也不願披掛著一身的裝甲去與人爭戰。牛頓說。「一個人如果控制不了自巳的脾氣，脾氣將控制你。」引導牛頓一生的，是信仰而非起伏不定的脾氣。」
牛頓並非是科學研究上的常勝軍。他從一六六九年至一六九一年長期研究實驗化學，也沒有獲得什麼發現，不過因此結識了有「近代化學之父」之稱的波義耳，兩人通信長達十六年。年長敬虔的波義耳，不僅幫助牛頓研究工作，而且在牛頓遭受猛烈抨擊的時候，他的榜樣更堅固了牛頓的信仰。
牛頓身為一個傑出的科學家，喜歡公開表白自己 的信仰，又有個不擅與人交際、喜愛獨自安靜工作的個性，現實的社會對像他這種善良、單純的人，有時是非常殘酷的。
當時宗教分子攻擊他有一流的科學，卻有三流的神學；科學分子攻擊他有一流的神學，卻有三流的科學；政治分子攻擊他的科學、神學、人際關係都屬三流；有人看他孝順母親又終身未婚，就中傷他心理不健全，現今還有人說牛頓有戀母情結；有人看他對學 生好，就說他有同性戀。這種種無情的攻擊搞得牛頓幾乎發瘋。 一六九二年，日內瓦來的拜特教授大力抨擊牛頓，謔稱他是「倫敦先知」， 說：「牛頓的萬有引力定律是來自對宗教的默想，而 非科學的發現，——他必須撇清，如果這是科學就不要寫到上帝如何如何，如果是與上帝有關的就不要放入科學範疇。」
拜特一開砲，許多人就群起圍攻牛頓。平常沒有想到防備的牛頓幾乎赤裸裸地站在科學的刑場上，接受無情的攻擊。一六九三年九月三十日牛頓寫下： 「我陷在極端的難過中。過去十二個月，我無心進食也無法安穩地入睡，我心動搖，無法思想。」
無情攻擊持續下去，一六九四年有人黑函中傷牛頓與女人搞性關係；一六九五年牛頓幾乎精神失常，各地都傳聞牛頓死了。牛頓百口莫辯，更退出人群；他寫道：「史賓賽著的《希伯來律法》一書成為我困難中的安慰」
在英國國王出面，任命他為「英國皇家協會會長」後，這些攻擊就突然消失了。
牛頓在以後數十年，根據過去兩年半受中傷的經驗，堅持給科學界建立「誠實的體系」而他本身就是最好的模範。
成為一個誠實的科學家，是波義耳在死前（1691 年）給牛頓及以後所有科學家最好的勸導，波義耳寫道：
「我老了，這該是我將所知的化學知識寫下來的時候了。這些知識，有的是經過多年的實驗；有的是與別人仔細討論而得。我認為是確實的，就盡力寫下來；有些是困難不易明白的，我儘可能寫清楚，好讓後來的人能夠仔細判斷。我把每個研究細節一一寫下，透過真實無偽的記載，將知識有效地傳遞下去。 但是，儘管我盡了所有的努力，我仍無法窺得知識的全貌。現今，我把一生的成果放在你們的手中，願你們像鑑賞家鑑定藝術品一般。在那一刻，是我呈現對人類與化學深愛的獻禮。」
不讓別人的錯誤成為自己的絆腳石
苦難並沒有離開牛頓。當時間的腳步進入十七世紀末，忽然有些基督徒自稱是上帝派來的先知，到處呼喊「世界末日就要來了」。
這波「世界末日說」傳自法國，Cevennes。野火般的燒遍英國各大城。許多人起來附和，聲稱看到異象：有一艘滿載鮮血的船在英國大街上飛過；有人說看到許多人浴血倒臥沙灘邊，說這是上帝要來審判的先兆。
短時間內成千上萬的販夫走卒跟隨末世先知，連皇家科學院的一些優秀科學家也趨之若鶩，因為一名優秀的科學家，也可能因著對宗教的無知，而陷入異端的泥沼。
牛頓本人是基督徒，他長期的研究聖經但以理書與啟示錄，相信聖經裡提到的這個世界有結束的一 天，那是基督耶穌要來審判的時候，但是沒有人知道那是哪一天，而且面對末世正確的態度，應該是感恩， 多於恐懼，坦然多於逃避。因此他不贊同這些到處宣傳末世的先知。他認為敬虔的信仰是在熱忱中帶著節制而非放縱，真正的被聖靈充滿，是由上帝的靈主動，而不是出於自稱先知者近乎催眠與暗示的教導。
牛頓對這批先知的反對，立刻引來許多偏激基督徒苦毒的批評與責罵。這種誤解實在傷透牛頓的心。 牛頓的一生中有一段漫長的信仰動搖期（1698~1707 年）就是在這個時候。
對基督徒而言，來自其他基督徒無情的咒詛，比被一般人傷害更難受。傷害容易使人走向極端，後來 許多人要證明牛頓是無神論者或不可知論者，就是引自牛頓這段時期的言行。不過信仰的成長，本來就不是一帆風順的，難免常經憂患。
一七○七年英國國王下令，這批所謂的先知，已經利用宗教得到太多不法利益，便把他們送入倫敦監 獄。世界的末日尚未來到，他們的末日倒先來到。自 此，末世之風才逐漸平息。
撿貝殼的男孩
時間往往是最佳的療傷劑。牛頓從苦境中轉回， 他的信仰又逐漸堅固，並且能區分信仰的真實與偏激，能夠分別順服在聖經真理前與在人話語前的不同，且重新思索物理、數學與光學。他在再版的《原理》上寫著：「讓人知道我是帶著對神的信仰來完成 這浩大的工作，是我出版這本書最大的喜悅。」
牛頓晚年名滿歐洲，貢獻普獲肯定。他老年最大的樂趣就是跟小孩玩耍 。有一天他對他的小姪兒講：「我不知道這個世界將來怎麼看我，對我而言，我只像海灘邊玩耍的男孩，偶然間發現了一粒比較圓的石頭，和一粒比較漂亮的貝殼，就覺得很愉快，但是在我前面，尚未被發現的石頭、貝殼仍然多如大海。」
牛頓死於1727年3月20日，晚年寫下：
「不管任何環境下，要守住耶穌基督救贖的真理與最大誡命——愛人如己。」
參考書目
. Manuel, Frank E. 1968. A Portrait of Isaac Newton.
A Da Capo Paperback, New York, U.S. A.
. Bell, E. T. 1965. Men of Mathematics.
On the seashore, pp. 90~116. Simon & Schuster, U.S.A.
. Pearcey, Nancy R. and Charles B. Thaxton. 1994. The Soul of Science.
Crossway Books, U.S.A.

唐翔是我认识的最牛的人。

这句话得好好解释一下：首先，什么叫做认识？认识当然指的是相互关系。比如说，我的老板姜伯驹和王诗宬，一个是两院院士，一个是长江学者，都曾获得过陈省身数学奖。我当然跟他们彼此认识，甚至可以说熟悉。那他们有没有唐翔牛呢？窃以为没有。又比如说，我还是见过几位当代一流数学家的：陈省身、丘成桐、Smale、Atiyah，但他们根本不知道我是何许人，所以他们不能算我认识的人。那他们有没有唐翔牛呢？我觉得不好比较。

不光是我觉得不好比较，很多人都有类似的感觉。有一次老谢(这是一个精通数学物理和数论的家伙)说：”二十世纪中国最伟大的三位数学家是陈省身、华罗庚、唐翔。”

“不对！”何旭反驳道。这位几个月后将坐在MIT里研究李群的表示论的好吃懒做的不敢吃辣的重庆人意味深长地说道：”应该是唐翔、陈省身、华罗庚。”

另外一个需要澄清的概念是”牛”。很多认识唐翔的人都认为，唐翔除了数学牛以外，再没什么长处了。但我这里说的”牛”是把各个方面：数学、物理、化学、语文、外语、泡mm、灌水、切星际……都加到一起。在每个领域中定义一个牛指标，然后把它们生加到一起。我将之称为”综合牛指标”。所谓某甲比某乙牛，就是说某甲的综合牛指标大于某乙的综合牛指标。容易证明，我认识的其他人的综合牛指标都是有限数，但唐翔在数学领域的牛指标是趋于+∞的，而他在别的领域的牛指标至少是非负数，所以唐翔的综合牛指标大于我认识的其他人的综合牛指标，也就是说唐翔是我认识的最牛的人。证毕。

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对于一个学数学的人来说，认识唐翔是他的不幸。这个不幸很不幸地降临在了96级数学系除了唐翔以外的师兄师姐们身上，也降临在了97级数学系大部分同仁的身上。我的不幸始于大二下学期。那时我们年级好多人都一窝蜂地去选大三的拓扑课，我也跟着去选，然后就认识了唐翔。唐翔身材魁梧，膀大腰圆，戴眼镜，坐前排，听讲非常认真。看不出来是一个牛人，因为通常牛人都是不大听课的，比如我的偶像Smale，据说大学期间常翘课，而且经常坐在台阶上很深沉地望着夕阳。

我们年级有一位mm也选了拓扑课，也总坐在前排，于是乎就经常向唐翔请教问题，没想到两年后这位mm会成为唐翔的gf……当然这位mm跟唐翔大概并不是在拓扑课上认识的，因为他们都担任一定职务，平时可能经常一起开会什么的。至于其中细节我并不大清楚，所以还是不说的好。但可以肯定的是，唐翔泡mm的牛指标是一个充分大的正数。

一学期转眼就过去，期末考试的时候，尤承业出题照例很简单，但对于我这种头脑不灵活的人来说做起来就很是费劲了。考完后出考场，我跟唐翔聊起试题，说有一小题没做出来。唐翔说：”很简单呀，这是书上一道习题，你把……”三言两语就把做法讲清楚，顿时让我感觉一学期的拓扑课算是白上了。

那时候才发现原来唐翔是个牛人，后来又陆续听到各种有关他的传说。一个流传很广的说法称，唐翔是一个绝对的完美主义者。有一次他考泛函，一个地方可能被扣1分，于是痛苦了一下午；还有一次他考测度论，一个地方可能被扣2分，于是别扭了一整天。通常来说，如果有一次数学考试连唐翔都没有得满分，那这次考试最后的成绩一定要经过若干次开方乘10的处理。也有人说唐翔的长处是记忆力好，所以他即使政治考试分数也很高。最后算平均分的时候，唐翔的各科成绩(包括政治)平均起来超过了95分。

我以前上高中的时候，老师经常跟我们说他以前的某个学生在北大数学系期间有七门功课是满分，创了北大的纪录。到了北大后，才觉得他十有八九是在吹牛，因为七门满分不大可能是北大数学系的纪录。不过我相信唐翔的13门功课满分一定是纪录。有一次我曾很不幸地看到了唐翔的成绩单的一页，在一堆100分中很刺眼地夹杂着一个90分，仔细一看，那门课是”ProbabilityTheory”，主讲教师为”QianMinping”.

其实13门专业课满分并不能说明一个人的数学有多牛，充其量只能说明他很会考试。比如说99级一个师弟现在的专业平均分是99.x，还有一个师妹的专业平均分是98.x，虽然这样高的分数我考不出来，但光凭这个也不能让我佩服。因为大一大二的基础课还比较简单，数分高代解几等课程要拿满分也不算太困难，另外陆果的物理课又纯属是考背书，所以分数高一点儿并不奇怪。而唐翔的长处就是大一的时候还不很突出，大二起就习惯于考满分了。

另外，考试考得好跟研究作得好是两回事，这一放之四海而皆准的真理早已为无数事实所证明。像Smale从小数学成绩就不突出，上大学时系主任追着要他退学。还有JohnF.Nash，自小就被目为天才，但他参加两次普遍特别难的数学竞赛，都没进前五名，备受打击，连Harvard的offer都不敢要。到如今，谁还记得当年的前五名呢？

所以说虽然唐翔成绩好，但还不能成为让人佩服的理由。打个不太恰当的比方，就像是中国足球队友谊赛灭了无数强队，但也没人因此把你当根葱。

大二下学期末的时候，听说周民强金盆洗手，下学期的实变课改由一位年轻老师教。无庸隐讳，这位年轻老师科研虽然不错，但讲课肯定比不上有三十多年实变教学经验的强强。那会儿我正感觉前两年虚度时光，所以决心暑假待在学校，疯狂自学实变，下学期就找老师要求免修。

没日没夜地读书、做题，最后书上的习题大概还剩下不到十题没做出来，自我感觉非常之好，巨有成就感。那些没做出来的题，每道想的时间都超过了十个小时，最后不得不放弃。一日从图书馆出来时遇见了唐翔，谈起自己近日来的活动，不免吹起了牛：”大概还剩不到十道题没做出来吧！”唐翔说：”很不错啊！那本书上的习题，我至今还没听说有谁能全部做完的。”

我听后十分得意，顺势拿一道不会做的题，”虚心”向他请教。唐翔听后，不假思索地说道：”我现在记不太清楚了。这种题就用那个什么定理，Egorov定理吧，找一个函数逼近一下就行了。”我说：”Egorov定理是有条件的，得是有限测度的集合。”唐翔说：”你可以取一个□□□(以下略去若干字)”

锵哉锵哉锵锵哉，一句话惊醒我梦中人！再回到图书馆一做，果然立刻就搞定了，而且用同样办法又解决了两三道题，另外以前有些我做得很麻烦的题，现在很简单就能做出来了。真是听唐翔一席话，胜读半月书啊！

后来有什么问题做不出来，要是能碰见唐翔的话，就直接问他了。不过没敢跟他一起自习，因为怕得神经衰弱。而且好象跟牛人一起自习是mm的习惯……

按lonekite的说法，96、97级不少人都养成了问唐翔问题的习惯。老谢曾跟唐翔一起上过黎曼几何，他说唐翔脑子很活，做题时很不少想法。这大概确是真的吧。一般来说，一道题如果连唐翔都做不出来，那就是真做不出来了，当然偶尔也有例外，这是后话。

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唐翔最让人佩服的是他的刻苦。每天早上六点他就起床，到图书馆自习，晚上11点从三教回来。四年如一日，从不间断。后来图书馆的门卫都认得他了，所以他不用证件也能进去。他曾告诉flying说自己每天工作的时间是16小时。

当代数学家里最刻苦的是Erdos，每天工作19个小时，其次就得数丘成桐这样的人了，但他们年轻时平均每天工作也达不到16个小时。这样算来，唐翔之刻苦实在是让人瞠目结舌。有一次，我们年级一个到MIT的家伙突出豪言：”我要是有唐翔那么刻苦，早就是博士了！”此言一出，众人均ft，然后无数臭鸡蛋烂土豆都向那人扔过去了。

flying声称唐翔到图书馆最晚的一次是他离开北大的前一天，那天早上7:20时flying看见他进入图书馆。不过我怀疑flying弄错了，因为那段时间我天天早上都在学五看见唐翔，我估计flying看见唐翔是他从学五吃完早饭后进入图书馆。

让人奇怪的是，尽管唐翔这样没日没夜地学习，但身体还那么好。中午不睡觉也照样精神奕奕，晚上头一沾枕就能入睡，然后鼾声如雷。我们这些人要是不午睡，自习或上课的时候必定犯困，看看唐翔，实在让人既羡且妒。有时跟唐翔比较起自习时间，发现差得实在太远，只好乘上一个午睡系数什么的，因为要是不午睡的话，学习效率会低得多。

唐翔在国内的时候就决定出去学非交换几何。NoncommutativeGeometry这门学科是近一二十年兴起的，发展得非常热闹，跟弦理论有密切联系。这东西到底讲什么的我也不清楚，只知道国内搞的人非常少，而Atiyah将它称为二十一世纪最有前途的两个数学分支之一。

大概算子代数在非交换几何中起到了重要的作用，正如交换代数是代数几何的基本语言一样。非交换几何领域里的头号牛人AlainConnes当初就因为算子代数方面的工作获得的Fields奖。唐翔嫌自己的算子代数水平不高，就找了一本这方面的专著来读。那可是真正的学术专著，而非一般的入门教材。书名就特别长，又是”representations”，又是”*-Algebra”，又是”locallycompactgroups”的，总之都是正常人没法学懂的东西。

其实如果光是题目吓人倒也没什么，看看那本书吧：共两卷，加起来一千四百八十余页。这个数字是什么概念呢？G.W.Whitehead写过一本臭名昭著的”ElementsofHomotopyTheory”，厚七百四十多页，重一公斤。这书已经被圈内人士认为过于厚重，不适合当教材，只能作为工具书查一查。而唐翔看的那书，每一卷的厚度都和Whitehead的书相当！

据说唐翔把那本两卷的书分成了四个部分，每两个月看一部分，用了将近一年的时间全部看完。老谢说，每当他在图书馆看见唐翔啃那本书时，他就流汗。

现在的人过于浮躁，一个个都恨不得两年就把本科课程学完，再用一年就写出博士论文，很少有人肯下苦功夫练一练基本功的。谁还会花上一年的时间，啃一本一千四百八十多页的书呢？

唐翔深受钱敏的赏识，后者把唐推荐给了丘成桐。据说发offer的那段日子，丘成桐不在学校，所以唐翔只被列入了Harvard的waitinglist，尽管是第一位。后来唐翔waiting不下去了，就去了Berkeley，然后Harvard的offer就来了……

个人认为，丘成桐没有招到唐翔，是丘的不幸而非唐翔的不幸。唐翔和丘成桐其实有很多相似之处：两人都有做数学的硬功夫，天资都不能算是太高，但都以刻苦而闻名。不同的是唐翔比丘成桐更刻苦，但丘比唐更有名，至少现在是这样。

顺带说一下，在Fields奖得主中，丘成桐的天资不算高，但刻苦程度绝对没几个人能比得上他。有人曾请陈省身评论几位当代数学家，问到某人时，陈说：”他很用功。”问到另外一人时，陈也说：”他很用功。”但问到丘成桐时陈不说话了，因为丘成桐的用功是出了名的。据说丘吃饭的时候也要想数学问题，想着想着连饭都吐出来了。丘如今五十多岁，早已功成名就，但每天仍工作八小时以上，系里所有的数学会议都参加。另外他对自己的学生也极严格，要求每四天读一篇高质量的论文。可以想象，要是丘成桐得到了像唐翔这样刻苦的学生，一定会喜极而泣。

唐翔到了Berkeley，导师是Weinstein，——也是陈省身的学生和钱敏的朋友。Weinstein是搞Poisson几何的，对非交换几何估计肯定不懂，所以在那里是他教唐翔Poisson几何，而唐翔教他非交换几何。自然唐翔的非交换几何是自学的，以他的算子代数功底和刻苦程度，要自学这种东西肯定是小菜一碟。

唐翔写信回来说，在Berkeley几乎人人看过的书都比他多。那是自然，想来也没有谁会花一年的时间看一本一千多页的书。有那一年的时间，牛人们肯定至少看完了几十本书了。不过一年看几十本书的只是小牛，唐翔才是真的大牛。

最後一段對閱讀 EGA SGA 有一些反對意見, 筆者也認為如此, 現在除了 Hartshorne 可以取代 EGA 一部分之外, 關於 Etale Theory 有 Milne 的 “Etale cohomology” 取代, 其他專題也有專書取代, 沒有必要一定去念法文.

算術幾何最重要的三個工作, 分別是 Deligne 證明的 Weil 猜想, Faltings 證明 Mordell 猜想, Wiles證明 費瑪猜想, Wiles 學生證明 Modularity 猜想.

Silverman 有 Arithemetic of Elliptic curves 一二冊, 第一冊介紹橢圓曲線的基本知識, 第二冊有一些進階的內容, 比如 CM 曲線, Tate 曲線, Neron 模型. 兩本書寫的很基礎, 很值得對算數幾何有興趣的人一看. 筆者只唸過第一冊和第二冊的一點點, 感覺非常好.

上述的 Diophantine Geometry 也是 Silverman (銀人)的專著, 內容是 Roth 定理 和 Vojta 用估計方法重新證明 Mordel 猜想的內容, 其時寫得還可以, 但是內容不是如帖子中講的那麼深, 只要學過一點點袋鼠幾何就可以看了.

費馬問題有一本書 Modular Forms and Fermat’s Last Theorem by Gary Cornell, Glenn Stevens, and Joseph H. Silverman , 是一堆人合寫的好書, 把費馬問題的周邊問題一章一章的講了, 當然把 Wiles的證明也介紹了, 是相當難的書,但是很棒,值得下功夫.

Algebraic Groups and Class Fields, Translation of the French Edition (Graduate Texts in Mathematics) by Jean-Pierre Serre 是早期的 函數體上類域論的書, 聽說很精采.

Weil Conjecture的標準書就是上述的 Milne 寫的 Etale cohomology theory. 需要對 scheme 理論很熟悉, Hartshorne 整本書都應該看完而且習題作完才能讀這本書.

Arithmetic Geometry by M. Artin, C.-L. Chai, C.-L. Chinburg, and G. Faltings 提到 Faltings 證明 Mordel 猜想所用到的各個分支, 書的結構也是一章一個步驟(專題), 讀完書可能會略知 Faltings 的證明大要 而且會知道更多的分支, 也需要 Harshorne 跟底

David Mumford 的 Abelien Variety 是介紹 Abelien Variety 的標準書, 需要Hartshorne 第二章的知識, 這本書寫的很好, 學幾何的話也可以參考其 1,2章來學 abelien variety和 cohomology and base change. 第三四章講 group scheme 和其 自同構環的算數,如果看的董會對學習數論很大幫助.

Diophantine Approximation and Abelian Varieties: Introductory Lectures by Bas Edixhoven and Jan-Hendrik Evertse 是專門講Faltings 的証明, 把一些太抽象的方法用估計代替, 不需要多少袋鼠幾何, 但是一點 Abelien Variety 還是需要的.

Lectures on Arakelov Geometry by C. Soulé, D. Abramovich, J. F. Burnol, and J. K. Kramer 是比較難的 Arakelov 理論的書, Arakelov 講算數曲面上的性質,所以需要相當多的袋鼠幾何. 另外 Introduction to Arakelov Theory by Serge Lang 是比較早的書. 這些書如果讀了(花個一兩年) 就可以進到算數幾何的最新研究領域, 對Falting 的證明也可以輕鬆掌握.

另外還有 Drinfeld module 的書 是函數體上的橢圓曲線的推廣, Crystalline cohomology 的書 (在下不知是什麼東東, 和 etale cohomology) 有關, 還有所謂 geometric laglands program 的書, 是現在挺紅的方向.. 但是在下認為算數幾何比純數論還美, 只是可以做的大問題比較少罷了..

to Quillen:
   “Grothendick” 应该是“Grothendieck”吧。你的“Topo”指的是“Grothendieck Topology”还是“Topos”？
  “但在本人的看法中,他的工作主要是語言的建立,”我不同意你的这种说法，你的意思可能是：Grothendieck只是给数学建立了一种新的形式语言，使得很多问题的阐述更加方便和直观（一种抽象的简洁）。但是，我觉得这种新的语言本身就包含了许多革命的思想，例如，以前，Riemann-Rohn只是纯粹关于簇的一个定理，而他却把它看作是一个关于簇间映射的定理，这样的话，就等于开创了一片新的天地，而不仅仅是一种阐述上的语言的不同，还有很多这样的例子。

“他的直覺並不是一種往常意義下的直覺, 而他是顯然崇尚於 “抽象化可以解決一切問題” 的數學家” ，你指的“直觉”是一种抽象的直觉吗？以前我也不相信有这个东西，直到最近突破了一些东西后，才稍有体会，确有此存在。关于Grothendieck崇尚抽象，有一些是Mumford，Hartshorne等人的歪曲，他们当时根本不理解Grothendieck的思想。Grothendieck的道路还没有走完，现Deligne他们正在努力把凡是适合于Scheme的性质改造成适合于Champs，这是一件艰难的工作。Grothendieck带来了整个数学思考方式的革命化。

“據我所知 有很多人學 EGA SGA 學到死胡同裡, 其實是他學派大部分的後人都是如此,只有少數幾個例外, 其實原因很簡單,數學不應該是以抽象的語言為本質,”，学代数几何要不要学EGA，SGA以及FGA，这个问题我以前请教过一个在IHES游荡的朋友，他的意见是，若你想成为Faltings这样级别的人，你就得念这几千页手稿。至于对其中的精髓的领悟，就全靠个人造化了，当然，前辈高人的指点也是一个重要的条件。其实，世界上真正念这3G的人，可能比学非交换几何的都还要少（Connes曾估计全世界有300多人干NCG），所以，代数几何领域很久没有出Faltings这样的同党了。
“抽象化是數學的一大部分 ,但做為工具的成分多餘作為研究的對象的成分, 就像 算子論, 純代數, 等等工具, 很快整個科目就會枯竭,留下的價值是,所有人都要學習之, 但並沒有後續的問題.”
只要不是人为的Vain Abstract，那么抽象永远是数学发展的动力。关键是要从抽象里领略大自然的构造，在数学观上我承认数学概念或者思想不是我们的发明，而是存在一个先验的绝对的数学世界，或许是柏拉图所谓的数学理念（亦或数学实体？）吧。算子代数已经够抽象了，Connes能够看出隐藏其中的非交换结构居然能够改造我们传统的测度，谁又能想到事情会来个神龙摆尾呢？其实非交换几何现象早就存在了，光谱学中 Ritz-Rydberg 组合原理，早年Gelfand 研究 Banach 代数的时候也发现， 一个交换的 Banach 代数对应于一个紧致拓扑空间, 叫做这个代数的 “谱” (spectrum), 这个代数正好是这个紧致拓扑空间上的所有连续函数形成的代数. 这种： 代数-几何 对应被 Grothendieck 在代数范畴里发展到了极至，而现在的形式表明，Grothendieck的这种发展是极为重要的。 一个自然的想法就是把这种对应推广到非交换的对象. 在代数范畴的推广就是所谓非交换代数几何, 在拓扑范畴的推广一般笼统称为非交换几何。Connes 就是从某一类 Banach 代数 — von Neumann 代数的研究出发来发展非交换几何的。
代数几何研究的主要对象，簇，是相当刚性的东西，怎样使它稍微软化到能够充分或者肆无忌惮的使用分析的工具，这是一个比较深的领域。有人开始改造经典的代数几何，什么同伦代数几何，非交换代数几何通通出炉了，可是，在思想上仍然没有突破，代数几何仍然笼罩在Grothendieck的阴影下。

代數幾何,過去五十年 和未來一百年

我想談談過去五十年和我預測未來一百年的代數幾何,我將一次次分開討論,如果有興趣請支持:

1940-1965
代數幾何在1900年以前,已經有了代數曲面的部分理論 和代數曲線上的Riemann-Roch定理,但是語言和概念處於一個混亂的狀態. 在1950到1965年間 出現了三個巨大的革命.奠定了代數幾何的秩序 描述了重要的問題,提供了未來發展的方向.:::
她們是 Hodge(加一堆人) 開創複幾何, Kodaira 的三大工作 和 Grothendick 的抽象語言及新定義(問題):

讓我先講第一項工作.

Hodge + Lefschetz + Kaehler 考慮了複流形的定義和一般的性質, Kaehler 引入了Kaehler 度量, Hodge 利用了分析中著名的”Elliptic regularity” 對Kaehler 流形的上同掉群作了至今仍然神秘的 Hodge 分解, 並且提出著名的 Hodge猜想, Lefschetz 證明了Hodge猜想的非常特殊情形,並且證明了他的截面定理, 用以連結一平滑代數促和其截面的同掉群.

這是一連串故事的開始, 這個故事到現在,甚至以後一百年內 都不會結束.
（2）

Kodaira 的三大工作:

(1)Kodaira 證明了 當複流形上的 Kaehler form 的 上同調 是 有理的時候, 該負流行就可以全純嵌入到 複射影空間之中. 而且也證明這是唯一的條件. 至今稱為 Kodaira embedding.
(2)Kodaira 把義大利學派對複曲面初步工作做了全面性地毯式的推廣, 對複取面 利用 他的 “Kodaira dimension” 作了一個本質上的分類, 對分類中的幾個大項都做了完全的討論,尤其是對曲面作為 一個 over 曲線 的 fibration , 對其 sigular fiber (橢圓情形)作了分類,至今稱之為 Kodaira Classification.
(3)Kodaira 研究了複流形的變形理論,對一階變形做了詳細的了解. 將一階變形表達為切叢的第一階上同調群, 證明了至今稱為 Kodaira Spencer 映射 的 存在性,

這三個工作,不論是哪一個 ..都是無比的巨大. 每一個工作都沒有做完,但都做了開創性的一步,也顯現了複曲面理論的三個主要觀點: 做為射影空間的子簇,作為over一個更低維度流形的 fibration, 作為其他更好瞭解的複流形的變形.

配合 Chow 的工作, Kodaira 和 Chow 完全刻畫那些可以做為射影空間子簇的複流形,知道她們正是那些用多項式在射影空間切出的子簇. 複幾何從此成為袋鼠幾何的心腹(大患)

嵌入定里使用了 正曲率向量叢之上同調的消滅定理, 這個消滅定理隊高維流形的分類起了作用, 也引發了後續的研究 比如尋找更強的消末定理

對曲面的分類, 留下了 general surface 和她們的 moduli 問題, 其使用的 fibration 技術,成為人們研究曲面和更高維流形的主要工具

變形理論被 Kuranishi 更一步拓展. 證明了有名的 Kuranishi Obstruction Theory (障礙理論), 描述複流形變形的障礙, 發現了 Kuranishi 映射, 成為理解曲面(或任何袋鼠幾何研究對象) 模空間局部圖形的刻畫方法.其數論面被Nicolas Katz研究其 over Spec Z
的變形性質, 幫助了 Deligne 證明 Weil 猜想.

Kodaira 是神..
1965-1980

這個時期得袋鼠幾何工作比較分散,很多結果都變成了啟發後面1980-2000 年工作的具體例子.主要是模空間理論的出現喊逐漸成熟: 這個時期的紅人是 David Mumford ,單個較大的工作團來自 Griffith 的領導, 另外Daniel Quillen 作了非常抽象但在2005的今天逐漸揭示其重要性的工作:

(1) 特殊曲面模空間: Kulikov 和 Robert Friedman 完全刻畫了K3曲面的 semistable 退化, Lefshetz 等人證明了K3 的 Torelli 定理, 其中也用到了這個時期 Kuranishi 發展的障礙理論, 非常具有其特殊意義, 人們開始關心 模空間,

(2) 曲線模空間: Deligne 和 Mumford 製造了虧格數為g的曲線的模空間及其緊化, 在其上計算了一些重要的幾何上同調的相交數. 引入了 Moduli Stack 的觀念, 其中用了 Grothendick Topo 的語言, Artin 研究了抽象 Stack 的局部-全域 性質, Grothedick 的學生 Illusie 研究了 重要的 Cotangent Complex, 成為 stack 上一個酷斃的變形理論.

(3) 向量叢的模空間: 人們開始研究向量叢的模空間, Narasimhan 和 Seshadri 一系列的工作研究了曲線上向量叢模空間的製造和緊化, 研究他們的拓墣和幾何性質. Atiyah - Bott 從微分幾何的方向來考慮相同的問題, 對黎曼面上的向量叢模空間計算其betti 數.是 Gauge (規範) 理論 在曲線上的經典之作,

接下來我要講這個時期中, David Mumford, Phillip Griffith, Daniel Quillen ,的工作

(1)
Daniel Quillen: 因為和Thom 共同證明了有名的 Cobordism Theorem, 以及他開創了 Homotopic Algebra, 定義了 Higher K theorem 和發現其和 Chow group of Scheme 的關係, 得到Fields medal. 不同於 Grothedick, Quillen 的工作更具有數學上的價值, 他的homotopical algebra 至今仍是一個謎, 但是越來越多的數學問題都指向了解這個謎是終極的方法, Higer K sheaf 的上同調等於 Chow group, 這個定理也是充滿了神祕的面紗, 從 1980 到 2005 沒有人開清楚其中的真正的現象.

Grothendick

Grothendick, 是一個很難聽的名字.如果你學過德文,你會知道 Grothen 是大的意思,Dick是老二的意思.所以合起來就是 這個人的名字很 Diaoˇ

他是真的很 Diao ˇ, 他夥同了一票同事和弟子, 建立了他的 Program of Scheme, 寫下了 EGA SGA 和 FGA, 就是袋鼠幾何初步,研習,和基礎 的意思. 他又提出了 Etatle Theory, Topo 的概念, Weil 猜想的可能解法, 證明了他的 Grothendick Riemann Roch 公式

關於上述幾個工作,我來討論依下: Scheme (我想中國翻譯成概形) 是研究代數簇一定會要關心的對象,主要有兩個原因, 一是一個簇到另一個簇的映射,其fiber (一點 的原象)不一定是個簇, 但一定是一個 “概形”,另一個理由是在研究算數幾何時, 要研究over 不是複數體的概形, 必須使用 scheme 的概念.

這只是一個簡單的概念,基本上概形就是 由幾個交換代數黏貼起來的圖形, 所有的性質都可以用交換代數描述的.但是在使用Cech 上同調來講sheaf的理論時,有特別得便利之處,另外在變形理論中,複流形的變形比scheme的變形難描述的多.

Etale cohomology 是 scheme/K 在K 不是複數時 的類比於 singular cohomology 或 DeRam cohomology 的東西.而 Etale homotopy 則是此情形的 homotopy. 兩者都和 K 的算數性很有關係, 是類比於拓墣理論但是實際上把 Gal(K_1/K), 包進去的概念, 其中K_1 是K的代數閉包. 這 Etale cohomology 後來被 Deligne 拿來解決 Weil Conjecture 的伊部份, 其實很大程度是只是表面的技術問題, 但是想法是很突破性的: 把算術和幾何做了一個很恰當的合併.

Topo 是很新的概念, 當時沒有人注意, 但現在 對 (moduli) Stack (中文可能翻譯為 堆積 ) 很有影響 當時是被拿來推廣原來的”拓墣中的開集合”, 用於定義 Etale cohomology 和 homotopy.

Grothendick 雖然做了很多重要的工作,對後人有很大的影響, 但在本人的看法中,他的工作主要是語言的建立, 除了很多技術性的部分之外 , 他的直覺並不是一種往常意義下的直覺, 而他是顯然崇尚於 “抽象化可以解決一切問題” 的數學家, 據我所知 有很多人學 EGA SGA 學到死胡同裡, 其實是他學派大部分的後人都是如此,只有少數幾個例外, 其實原因很簡單,數學不應該是以抽象的語言為本質, 抽象化是數學的一大部分 ,但做為工具的成分多餘作為研究的對象的成分, 就像 算子論, 純代數, 等等工具, 很快整個科目就會枯竭,留下的價值是,所有人都要學習之, 但並沒有後續的問題.

畢竟 數學真正的對象, 除了物理問題以外, 是 幾何(拓墣) 與 數…

而方法..只因為研究的對象而重要…. ]

（huzhengyu

还有他的标准猜想，至今是不可接近的。stacks现在有很多新的工具了，象源于代数拓扑里的operads，A无穷代数，D模这些。
我觉得抽象化肯定是很核心的数学技术，不然同伦代数不可能会诞生，同伦代数几何就更不必说了。数学的对象有些一直没有变，有些却是全新的。
现代物理学家有不少已经倾向时间和空间都是想象的产物，不是实在仅仅只是心理学概念，那么如果想看一眼最原初的“没有时间和空间的世界”，所需要的数学肯定是抽象的可怕的。
好像是哈代说得，除了自然数一切都是人创造的，不过就现在来看，我个人认为可能自然数也是人创造而不是自然本质具有的，因为集合和数数的概念很可能是人的特征而非自然的本质特征，所以以有理数为对象的数论也许也会慢慢改变它的对象。
不过我非常赞同你对复几何的重视。我也觉得现在代数几何的核心内容是与解析几何的内在联系。
这些只是我的个人感觉，我水平较低，各位请勿见怪。

回答2楼，grothendieck没有自己的学派。他在自传中称此为“葬礼”，认为他离开后的数学界又再次把精力投向技术性的问题而不是开创一个新的几何纲领。他所想象的“新几何”“新数学”被埋葬，因为他之前太过乐观，EGA写到第四本的时候，大家已经开始觉得沮丧，离他的“新几何”的目标似乎遥不可及，尽管他自己坚持认为“只差没几步”了。

就现在来看，做stacks的人还是不少，但是需要巨大的数学基础，而且所有的目标都遥不可及。个人还是认为应该做“炉中烧着的铁”，除非你觉得自己一人之力能够战胜以前在这个目标前失败所有的数学家。

[grothendieck] harvesting and sowing
没有出版的 可以去数学所资料室借复印版的 里面还有pursuing stacks的手稿
不过standard conjecture比hodge猜想推广多了 里面还有他的一篇关于一般意义下hodge猜想推广不成立的简单理由

）。

1965-1980 Part Two

既 上次的帖, 這次我想介紹一下 David Mumford 和 Phillip Griffith 的貢獻和我對他們的個人意見.

David Mumford 是一個奇才. 他有兩個主要的工作:

(1) 發展了 Geometric Invariant Theorem, 也就是著名的幾何不變量理論, 這個理論研究,當有一個群 G 作用在一個簇 X 的時候, 怎麼樣正確的找出 X/G (稱之為 Quotient by G) 上的 scheme 的結構.

這個問題聽起來很簡單, 如果只想做 X/G 上的拓墣或微分結構, 幾句話就可以說完, 但是想有一個簇 或是 解析結構, 就變的複雜, 這是代數幾何研究 模空間的重要工具
幾乎所有的模空間的製造都是這種 X/G 的形式. 比如說曲線的模空間, 一個簇裡面的曲線的模空間, 向量叢的模空間, 霍奇結構的模空間, 等等等等等等等 模空間..

(2) 曲線和 Abelian Variety 的模空間的緊化問題: 模空間的緊化一直是備受關注的問題, 人們想知道幾何物件的退化會變成什麼樣子, Mumford 研究了上述兩種物件模空間的緊化, 並証明了對任意幾何物件退化的 ” Semistable Degeneration” 定李, Mumford 也對 Abelien Group Scheme 作了一些貢獻 , 對算數幾何起了重大的影響.

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Phillip Griffith 相較之下 ,並沒有這麼傑出, 他也就只做了一系列有關霍奇猜想的工作, 他帶領了一堆學生和工作夥伴, 對霍奇結構的變形理論,和霍奇結構退化時的理論,作了相當的貢獻, 他主要的動機是想要研究 霍奇猜想和 Torelli 問題. 但是他 失敗了 (ps: 霍奇猜想可看成是 torelli 的特例) 他也因此離開了數學界, 留下了他的兩個著名著作: (a) 和 Joe Harris 合寫的 Principles in Algebraic Geometry (b) 和他的團隊合寫的 Topic in Transcendal Geometry

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在1965-1980這個時期中 Pierre Deligne 還提出了他的 Mixed Hodege Structure, 也就是混霍奇結構, 是不平滑的簇的霍奇結構. 另外Hironaka 也證明了 Resolution of Singularity 的大定理 得到非爾茲獎.
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作為此文的作者, 我想說依下我的個人觀點, 雖然 Mumford 的工作比 Griffith 傑出, 但是我以為這只是短暫的歷史現象,Mumford 對他的學生非常惡劣.甚至盜取他的一偽超強女學生,的工作, 相較之下 Griffith 就帶領出一批學生和合作者,他雖然失敗於一個不可能的任務:解決霍奇猜想, 但他的學生在下一個時期中, 持續的在這個綱領上工作, 也取得重要的結果,一直到1996鏡對稱猜想出現,袋鼠幾何界對霍奇結構的重視突然飆高, 隨著這些故事,Griffith 的精神永存.
（想问一下，在那里可以买的到David Mumford 的袋鼠几何书？

你是指red book？还是alhebraic curves on surfaces?或者abelian variety?
mumford这3本书满有名的，后面两本需要hartshorne打底。

引用 (huzhengyu @ 2006年12月10日 20时00分)

估计后面两本没有买的吧。你实在需要可以向我买，呵呵。

第一本哪里有新书买？后两本买你的．多几成新？听说你自己做了一本代数几何的答案，是哪本？可以估价一起卖给我吗？

我就是可以帮你借原版书然后复印装订一下，然后邮寄给你。书本质量要看原版书的新旧而定。
代数几何答案是iitaka的algebraic geometry:an introdution to birational geometry，不过我是手写的，估计你看不懂我的字，哈哈，而且这本书的习题一般，不看也罢。我是用作讨论班的讲稿。 ）

1980-1992 這個時期, 是代數幾何的一個黃金時期, 這個時期有三個大猜想被解決, 幾個分支先後出現, 能人輩出, 真說的上風起雲湧:

解決的猜想:

(1) Weil 猜想: Weil 在50年代提出了一個猜想, 認為over Z 的一個簇的整數點的個數隱藏了該簇的拓墣性質, 這是一個令人震驚的猜想, 藉由幾何物件連結了拓墣和算數, 這個猜想由 Pierre Deligne 解決, 他用了 etale cohomology 的各種性質, 比如 Lefshetz 固定點公式, 另外Weil 將整數點合在一起寫成一個生成函數, Deligne 證明了這個函數的黎曼猜想, 這些工作是 Grothendick 的 Etale theory, 甚至是代數幾何, 開始受到數論學家重視的原因.

(2) Mordell 猜想: Mordell 在 20 年代提出了他的著名猜想: 說一個虧格大於等於2又定義over Q 的代數曲線, 只能有有限個有理數點. 這個猜想非常的簡短漂亮, 人們知道虧格零的曲線有有理數那麼多有理數點, 知道虧格一的曲線的有理數點形成一個有限生成交換群(這是Mordell 的定理), 如果證明了 Mordell 猜想, 那就說明了曲線的有理數點結構決定其 Kodaira 維數.這又是一個聯結算數和幾何的特別猜想.

(Kodaira 維數是 Canonical bundle 的 section 的個數增長次數, 曲線有三個 Kodaira dimension, 虧格0 -> K.D=複無限大, 虧格1-> K.D.=0, 虧格大於董於二->K.D.=1)

這個猜想被 Gerd Faltings 解決, Faltings 據說是一個天生下來學習 Grothendick
語言的數學家, 他高中就把 Bourbaki的代數唸完,大學把 EGA SGA 唸完, 他證明 Mordell猜想的方法也是利用 Abelian Variety 的理論, 這個人和 Pierre Deligne 是算數幾何的宗師.

(3) Calabi 猜想: Calabi 提出他的著名猜想: 一個 Kaehler 形式可以調整為其Ricci曲率為給定的形式, 邱成桐證明了這個猜想, 也證明了 Kaehler Eisten 曲率的存在性, 在 K trivial 的時候就是著名的 Calabi Yau 流形, 一維時是橢圓曲線, 二維是 K3 曲面或 Abelian 曲面,都只有一種拓墣結構, 三維以上就不依樣 , 至少有數萬種 Calabi Yau 流形有不同的拓墣, 隨著物理的鏡對稱理論和弦論, Calabi Yau 流形變成了和 Eistein 四維時空流形(with Eistein 測度) 一樣重要的物理概念, 成為了到現在20年內代數幾何得重要研究對象. 這個代數幾何和物理的連結, 某種意義上比前兩個猜想的解決還要有意義.
(Yau 的結果雖然是微分幾何的, 但對代數幾何的應用非常多,也可能持續發現其應用, 比如說 P^2 上只有一個 Kaehler 結構也可用此證明)

下次我將說到 Simon Donaldson, Maruyama+ David Gieseker, 和 Gromov 的工作, 雖然第一個和第三個不能算是代數幾何學家, 但是在21世紀的今天, 他們的工作隊代數幾何起了深重的影響, 就如 邱成桐的一樣.
那個 Kodaira 的 deformation 和 complex space 的 deformation 都是所謂的 “first order deformation” (一階變形) 也就是模空間的切空間, 如上述是 次數1的 cotangent cohomology. 而其他次數的 cotangent cohomology 包含的訊息 則是 所有階數的變形, 目前大家開始重視 次數 2 階 的 cohomology 的幾何意義.

如果你要看變形理論 我不鼓勵花太多時間在 Kodaira 的書, 事實上 這世界上還沒有一本把 變形理論講的很完善的書 主要的原因是這是還在發展(得很慢)的學科, 主要代數幾何 (或複幾何) 研究三種東西的變形: 全純映射的變形, 向量叢的變形, 和 variety 自己的變形, 所謂的 Gromov Witten 不變量 和 Donaldson 不變量 就個別是前二者變形理論 的 一階和二階部分應用. 如果想要參考資料, 這到真是很大的問題..

我承認您說的 複幾何的入門門坎很高 也因此個人並不以為 大家都應該來學這個, 畢竟這是象牙塔裡的東西 真的跟世界有關聯的 也是透過玄之又玄的 弦理論 鏡對偁..另外 您如果要看 cotangent cohomology, 可以Google搜尋 “model category and simplicial method” by Paul Goerss (另一個作者忘了), 這篇介紹 Quillen 定義 cotangent cohomology 的方法 但是很不幾何, 而且 Paul Goerss 真是超級好人 我寫信問他五六次問題他都很詳細的答覆. 但是若要從比較好,也就是幾何的,角度 建議 關心一下所謂的 “障礙理論” (Obstruction) 這是上述的 2 階的部份, Kodaira 的書沒有講, Barth 的 “compact complex surface” 查閱 “Kuranishi” 可以找到 定裡敘述, 證明可以看其文章 或是
Daniel Huybrecht 的 “The Geometry of moduli spaces of sheaves” 的第二章附錄 (對向量叢情形)

Riemann Roch 是很重要的定理 証明也不算容易 其一般情形 被當作是 代數幾何計算上同調的少數工具之一, 而 所謂 virtual cycle 的構造 和 Riemann Roch 有非常大的關係.

念到像你這樣 讀書要學會跳躍 不要”一步一步念下去” 盡量尊重自己的直觀. 另外 有問題請務必來討論 我會努力去想….

在中國念博士是很艱難 我去過上海有此感覺 博士生活 就像是 告訴這些有能力也能享受到數學趣味的學生們, 這個世界很殘酷 數學很沒用 賺不了錢 想要數學到底 就要犧牲所有物質慾望 折磨精神 也不要想很輕鬆的養家活口, 然後又常常用一些口號 讚美清高的數學家, 好像做數學就不用買車 不用買房子 不用取老婆 活該躲到山裡面做隱士靠掌聲過活, 一步步的神仙化數學家形象來蠶食學生最後的熱情

這在國外是不多見的 一個成功的國家 應該是對花多少心力工作的人 就能給多少的回報 而且是實際的物質上的回報. 國外連數學工作都講究市場供需, 但是待遇比中國好的多也公正的多 即使數學可以算是跟社會嚴重脫節的科目 在國外你可以看到數學家們受到別的科系的真正重視 因為數學對他們有用..

個人小感抒發 請別介意….

鏡對稱的確是源於物理 但是其中的 幾種對稱已經完全的被數學化 也就是說 他們變成了純粹的數學問題 一般說”鏡猜想”這個名詞指得就是數學中的鏡對稱猜想 Toric 在現有的鏡對稱的數學中扮演非常關鍵的腳色. Victor Batyrev 提出用 互相對偶的 一組 toric varieties 的個別其中的 complete intersection subvarieties 可以得到所有物理上所猜測的 Mirror pair of Calabi Yau 流形 他的這個猜測 已經提供了無數的鏡對稱的例子 和 Strominger, Yau, Zaslow 提出的 Special Lagragian fibration duality 相比較 雖然兩者都是提出製造鏡對稱流形組的猜想 但前者非常的實際並有很多例子 後者一個例子也沒有 (除了幾個沒有意義的例子) 但後者有助於所謂 “Homological Mirror Symmetry” 的可能的証明 有關極小模型, 我想您說的是對的 但只適用於三維或二維 比如說再四維的時候就得吹落一些二維的東西 KE Metric 現在最紅的是 KE flow 其次是 open manifold 上面的 KE, 我的微分幾何也學的不好. KE 是 HE (hermitian eistein)在切叢的特例 我對這個 HE 比較有興趣 他們對應到代數幾何的 穩定性 是很有趣的課題 我將來有時間會好好學一下這個東西..

紧致流形上所有联络组成的空间与流形本身有什么联系？

只看空間沒什麼關係. 但是在上面考慮某些方程 如可積方程 的解集合 就和流行的 複結構有關係, 考慮 anti self dual 方程, 就跟流形的微分結構有關係 等等

连通拓扑空间与其上某点闭道路组成的空间有何拓扑关系?

其同調群和同倫群 都可由原來流形決定..也有其他關係..

模空間, 一般只某些物件的集合有天然更多於拓墣的結構, 通常要有限維, 比如說 虧格g黎曼面的模空間是一個維數是3g-3的平滑 複流形 (orbifold) 或 複向量叢模空間 或 微分方程解集合模空間 等等

Hodge 猜想: 個人傾向認為是錯誤的

先對bird 想用 minimal submanifold 表示質疑, minimal submanifold 幾乎都不會是 subvariety. 除非你可以推廣 mean curvature flow 到 calibrated flow.才有機會證明猜想

即使是對 Abelian Variety 或是 4維 variety, 經過長久的研究 也沒辦法證明是對的. 日前有人 發表 K3曲面乘上自己的反例, 雖然該反例後來有誤, 但我相信 對 genral surface 乘上 general surface 的 middle cohomology 就會是錯的了.

Griffiths 的 Jacobi inversion 本來是想推廣曲線情形到高維來證明 Hodge猜想. birds兄 可以從 樓上說的 “A survey of Hodge conjectures” 這本書中看到. 但是Griffiths 工作了很久 80-90 便發現這是不可能的. 去年底我還聽過他在 stanford 的演講 其中他提議大家來研究 滿足 Hodge 猜想 的 variety 的 moduli space 的 virtual cycle. 這便是說明他已經放棄相信該猜想是正確的了.

其實 Hodge 猜想 顯現了 人門對 variety 的 一般性質的了解是鳳毛麟角, 尤其是 cycles and rational harmonic forms.

盡管如此..情感上很多人還是希望猜想是真. 這個猜想太漂亮了. 如果是對的話.不會比 Index 定理遜色. 人們有時也抱持著這樣的理由: “這麼久都沒有發現反例 多半不會是錯的” 到目前為止. 利用滿足Hodge猜想的 variety定義的 Moduli space 幾乎都被證明滿足 Hodge 猜想. 然而 Moduli space 在 所有的 variety 中佔的太少, 比如 Abelian variety 幾乎都不會是 Jacobi varieties. 所以 也可以說 Hodge 猜想至今沒有進展.

然而 有一件有趣的事情: 我門學過 Hodge (1,1) 猜想可以用 簡單的 exponential sequence: 0->Z->O->O^*->0 取 sheaf cohomology, 配合 hodge 分解 來證明. 如果有心的人 就可以發現 Z 和 O^* 個別是 analytic local ring O_p 的 K^0 和 K^1, 也就是著名的 K group. 高階 K 理論已經被 Quillen 很好的定義, 我門會問自己 Hodge(p,p)猜想 是不是和 exponential sequence 的推廣 以及 O_p 的 K^2,K^3,…K^p (高階K群) 有關 甚至被其證明.. 在 Quillen 的工作 50年後的今天, 人門還是不能計算 K^2(O_p), 所以這條路還很遠 不過已經開始有人在組織集團來計算這些高階K群 比如 Suslin.

另外如果是從事複分析的人 想要研究Hodge猜想並且證明其正確性的話, 有一條, 幾乎沒人去走的路, 也就是研究 聯絡的可積方程的流, 因為 Hodge 猜想幾乎等價於問, “一個 平滑的複向量叢 (當然是在我門的 variety上), 如果其陳類都是 pure type (ie. (p,p) type) 那麼必定存在可積複結構?” 要得到可積結構 很方便 的是找一個 曲率為零的 “d-bar”(音譯) connection. 因此便是要解可積方程, 或許, 陳類是 pure type 可以幫助這個方程解決.

然而 這個方程是一個 over determinied system. 也就是說我門不能期許有很一般的方法找解, 更多的觀察顯示, 這裡有所謂 “virtual cycle” 的問題在作怪..跟 Griffiths 演講中的想法雖然不同(他的是滿足”Hodge猜想的variety的模空間的virtual cycle”, 而我這裡指的是 複向量叢模空間的 virtual cycle”. 但是這兩者同樣表示放棄 Hodge 猜想可以有別的更合理的猜想. 當然的也有可能藉由 證明 virtual cycle of moduli of holomorphic bundles 非空來証明 Hodge 猜想.

要提的是, 想要使用 數學歸納法的方法來證明 Hodge猜想的 很容易知道 只需要證明 (p,p) 猜想 對 4p 複流形 即可. 然而..就算想把 4p 複流形寫成 fibration over curve 來證明Hodge 猜想, 中間會遇到 hodge cycle 躺在 不同的 singular fiber 中而且可能該類在每一個 singular fiber 中的 component 皆非 pure type, 所以不能如此簡單的用 歸納法 來證明 (即使假設對 singular fiber 都有 mixed 版本的 Hodge 猜想成立). 這是 R. Thomas 的文章.

最後想說的, 如果不幸的此猜想是錯的, 那鑽研 Hodge 理論的人必然大失所望 然而 有關 Hodge 理論的大問題並不僅此 比如 Mirror Symmetry 中的 type 2B field 用的是 variation of hodge structure 來算 但本質性的理解還不構透澈 至少在Mirror symmetry的可能的數學證明中Hodge理論應該佔什麼位置 還不清楚. 另外 跟數論的關系 尤其是 Weil 猜想中zeta 函數 分子分母的根 和 variety的 hodge 結構有很深關係 現在沒聽說有什麼猜想提出來(也許因為數論只關心曲線情形, 或是我孤陋寡聞). 當然 也是我最感興趣的 是 如果Hodge猜想錯誤, 那利用 virtual cycle 的理論 (即使只是個方興未艾的理論) 能對猜想做怎麼樣的修正, 我期許這個修正一定是很驚人的…
筆
者是代數幾何工作者..認為代數幾何比微分幾何有趣得多. 雖然微分幾何的重要性是無
庸置疑,但是代數幾何有更多巧妙得構思,也有更有趣的問題.. 讓我來說幾本代數幾何的
好書: ( 在書號後是金庸小說密籍的類比,書評之後有兩個星號數.第一個是困難度.第二
個是重要(趣味)性, 第三個是讀了投資報酬率 從 1 到 5 是 易 到 難(無聊到有
趣) .. )
1 武當長拳( 基本功夫) Atiyah&McDonald 的 Introduction to Commutative Algebra
和 Matsumura 的 Commutative Algebra 是代數幾何中代數部份的背景知識. 兩本書只
重視代數而不提及幾何,但第一本書的習題有很多引出幾何背後意義的好問題. 事實上任
何一個交換代數的定理 都有幾何意義. A&M 的書寫的很短, 但是把所有的內容都做了簡
介, Matsumura 的書內容非常豐富,如果唸完她就可以開始交換代數的現代研究,可以開
始看文章,這本書比 A&M 多了一些重要的章 節如 “flatness” 和 “Struture 定理”. –

—————————困難度 中 趣味性 ***
2 梯雲縱 (練了想進哪個分支都可以 …) Robin Hartshorne 的 Algebraic Geometry
是代數幾何的經典教科書.任何一個年紀不到五十的代數幾何學家都是學這本書長大的.
這本書是 Grothendick 的 EGA 和 SGA 一部分的一個非常有系統的總結. Grothendick
的書包含的內容很齊全但是失於不實際: 也就是討論的對象過於一般有時沒有幾何意
義, 這一點十分不好. 但是 Hartshorne 的書把整個 Grothendick 的 Scheme 綱領 作
了一個最恰當的詮釋.這本書的習題也非常重要 不管將來對 算數幾何 或複幾何 或 更
深入的代數幾何 這本書的習題都是永遠有用的.本書的菁華在前三章,很好的處理了
scheme的基礎性質,最重要的大定理是第三章的最後一節”上同調與基轉換” 定理, 是一
個來自複幾何的定理. 四五章分別是曲線和曲面, 但是這兩個專題都有更好的專書介
紹. —————————–困難度 中等 趣味性 ***
3 一套武術服飾(行走江湖 要穿衣服)
Gunning 的 Lectures on Riemann surface 或 Forster 或 Farkas 或 Jost 的
Riemann Surface: 黎曼曲面是數學的核心. 跟一切的數學分支都有重大關係. 上述四個
作者的書都有相當深度. 筆者只唸過 Gunning 的, 是一本比較重視”上同調群” 的好
書. 其他幾本又或重視黎曼面的”雙曲幾何” 或 “黎曼曲面的自同構” 或 “曲線上的特殊
線性系”, 都非常有意思. 很多中國人 還喜歡 伍鴻禧 寫的黎曼曲面引論. 但筆者並不
是非常喜歡. Gunning 書的優點是把層的上同調做了很快但很詳盡的介紹,該書證明
Serre對偶定理和 Riemann Roch 定理的方法使用了廣義函數,和一般的證明不大一樣,適
合喜歡廣義函數多過橢圓方程的讀者. ——————————困難度 易 趣
味性 *** 4 全真派基本內功(一定要練) Griffith& Haris 的 Principles in
Algebraic Geometry. 這本書是經典中的經典.是複幾何的基本教材. 這本書的每一章都
寫的很完美. 第一章是Hodge 理論..是複幾何中最深奧的理論. 第二章是Kodaira 嵌入
定理 複流形的嵌入比實流形的嵌入有趣很多. 第三章是 current 和 spectral
sequence, 是很現代的工具. 第四章 是曲面論 . 寫的很詳盡 但是有更好的書(見6).
第五張是特殊專題 對袋鼠幾何中不同方向的人有不同功用.這本書是學習複幾何的必備
教材.但是學袋鼠幾何的人如果讀了這本書,卻能對袋鼠幾何有一個更全盤更清晰的認識.
也就是所謂站在更高的角度. ——————————-困難度 中等 趣味性
**** 投資報酬率 **** 5 九陽神功 Barth & Hulek & Peters 的 Compact complex
surfaces. 這本書是經典中的經典中的經典. 講的是代數曲面的各種專題. 每個章節都
寫的無限完美. 可以說如果學代數幾何沒唸過這本書. 甚至是學幾何沒唸過這本書..可
以考慮換行.是百年難得一見的好書. 內容包括曲面裡的曲線,相交數,霍奇分
解,pojectivity,有理曲面分類,Kodaira分類,general 曲面,K3&Enrique曲面. 筆者以為
此書新版的最後兩張寫的尤其好. 一是 K3 曲面 另一個是 Doanaldson 和 Seiber
Witten 理論. 後者是來自模空間的不變量理論.現在都是熱門的專題. —————

—————-困難度 中等 趣味性 ***** 投資報酬率 ***** 6 少林派羅漢拳(如果
沒事 可以練練) Robert Friedman 的 Algebraic Surfaces and Holomorphic Vector
Bundles 這本書是 講曲面和上面的向量叢. 曲面的部分講得有點亂,事實上沒有人把曲
面講的比 Barth 還好的. 向量叢的部分有”穩定性條件”的介紹和刻畫,值得一看. —–

—————————困難度 易 投資報酬率 ***
7 雙手互博(可以連結兩樣功夫) William Fulton 的 Intersection Theory 相交理論
是 袋鼠幾何1960-1990發展的一套基本理論,閱讀很多的專門書籍都需要用到他,本書是
相交理論的大家 Fulton 的代表作, 介紹了 Chow Group 的性質,袋鼠陳省身—-類, 還
有 Fulton 發現的 deformation to normal cone, 用它來做 子簇的香蕉理論,還有很多
專題,這些專題都很現代,相交理論是 Gromov Witten 不變量,Donaldson 不變量,模空間
理論 等的基本知識, 基於這些不變量和模空間是現代袋鼠幾何的發展潮流, 這本書前六
章的必讀性並不亞於 Griffith & Harris 或是 Hartshorne 的書. ——————
- 困難舵 一點點難, 趣味性 ***(主要趣味在應用) 報酬率 ***** 8 吸星大法 (練完就
可以吸取微分拓墣學家的內功以為己用) Donaldson & Kroheimer 的 The Geometry of
Four manifold. 這是微分拓墣中的聖經.兩人都是大家. 此書引出了四維流形的 Gauge
Invariant (規範不變量), Donaldson因為他在此書的工作,對四維流行的微分結構增加
了了解,因而獲得菲爾茲獎,而複曲面是四維流形中的一大類 ..因此也屬於代數幾何. 現
代做這個領域的人不多,但是卻是將來幾盒和拓墣發展的重大方向,Aityah 曾說”21世紀
的數學 是 規範理論的世紀”. ——————————–困難度 難 趣味性
***** 投資報酬率 0 (本書效益在五十年後)
9 乾坤大挪移 (練到一半就夠強了 全部練完你也吐血而亡) John Morgan 和 Robert
Friedman 的 Smooth four manifold and Complex surfaces. 這本書講得是橢圓曲面和
其上Donaldson 規範不變量理論.作者利用此理論得到了曲面 的一個大定理, 證明了最
多只能有有限個複變形類共用一個微分結構. 是一本很專門的書, 內容非常緊湊而且很
不容易唸,筆者還在努力學習. ————————— 困難度 極難 趣味性
**** 投資報酬率 **
10 Kashiwara的Sheaves on manifolds 這本書非常厚,寫的相關層的拓墣性質,有
Riemann-Hilbert correspondence, 各種層的?#092;算, 變態層和可建構函數, 筆者沒
有唸過所以無法做更多介紹. 11
Hartshorne 的Residues and Dualities 介紹 Derived category 和其上的?#092;算,一
些對偶定理.和 Kashiwara 的書有內容上的重疊,因為Kontsevich 的 Homological
Mirror Symmetry , 所謂的 Derived Category逐漸受到大家的重視.對直攻現代研究有
幫助.
12 筋肉人和加菲貓的無敵風火輪 (練前請三思) Haris 的 The Geometry of
Algebraic Curves. 是有一點點狹窄的領域. 研究代數曲線上的特殊線性系統. 有很多
細節的一本書. 唸完後的最大用處就是研究曲線的模空間Mg, 是現在最熱門的專題,但是
做的人非常多,所以可能入手會很艱辛.也就是很有可能找到你作的題目有其他的大頭也
一起在做.不論如何,唸完此書可以成為一個代數曲線的專家.將來的發展也不少.這個Mg
的延續就是Gromov Witten 不變量,以及所謂的保角場論中的 \sigma 模型. (來自弦
論) ——————- 困難度 難 趣味性 ** 投資報酬率 ***
13 五獄派劍法 (有用處但是相當雜亂.拼拼湊湊) Joe Harris & David Morrison 的
Moduli of Curves 是講曲線的模空間的經典.但筆者唸的有一點頭昏腦脹. 這本書的原
型是前一本書的第二冊.也就是研究 Mg (虧格g的曲線的模空間)的入門書.裡面有
Enumerative Geometry (記數幾何) 的一個全面介紹. 有曲線模空間上的相交數和各種
性質. 該書寫的相當有幾何風味,至少是 Harris 的幾何風味. ————- 困難度
中等 趣味性 *** 投資報酬率 ***** 14 九陰真經 (練完後可以開始真正研究問題)
John Morgan 和 Robert Friedman 的 Gauge Theory and the Topology of Four-
Manifolds. 裡面有Gieseker 寫幾何不變量理論. 李駿的 Uhlenbeck 緊化 和 Gesieker
緊化的比較定理. Morgan 討論 Donaldson 規範不變量 和對此量的計算結果. 此書的分
量不多,也沒有太多繁瑣的性質.各章都直接介紹最重要的結果和想法.不要求太多細節的
驗證. ——————– 困難度 中等 趣味性 ***** 投資報酬率 ***** 15 太極
拳 (一法通萬法通) Daniel Huybrecht 的 The Geoemtry of Moduli Space of
Sheaves. 是向量叢 模空間的經典用書. 第二部分有此學科最先進的結果. 各章的附錄
都有很重要又有趣的結果.主要內容包括半穩定叢的分解成穩定叢,穩定叢的陳數不等式
(Bogomorov Inequality), Mumford 的幾何不變量理論, 穩定向量叢模空間的製造, 曲
面上向叢模空間的平滑性,不可約性(李駿的定理), K3曲面上向量叢模空間的性質. 這本
書的語言有點形式化,有可能讀的時候會失去幾何直觀.所以讀者可以參考其他比較幾何
的書,比如Robert Friedman 的向量叢的書. ————————- 困難度 難 趣
味性 *** 投資報酬率 ***** 16 MK47 步槍 Joyce, Gross & Huybrecht 的 Calabi-
Yau Manifolds and Related Geometries. 是最新的 Mirror symmetry 的專題書. 講
Calabi Yau 流形的各種相關問題. 有Yau 解決 Calabi 猜想的概述. 有 Mirror 猜想
和 SYZ (Strominger& Yau& Zaslow) 猜想. 還有 HyperKaeler 流形性質的討論.這是二
十一世紀的數學.想要了解Calabi Yau 流形的相關性質的人 一定不想錯過這本書. —-

——————————–困難度 難 趣味性 ***** 投資報酬率 ***** 17 機
關槍 (可以搶銀行