数学的严谨

有三位好朋友，一位是工程师，一位是物理学家，一位是数学家，他们经常一起讨论问题。在一次的欧洲旅程中，因乘长途火车，所以气氛沉闷。突然在车厢中走来一位中学生，口中念念有词：「如何证明所有太于2的奇数都是素数？」那位数学家说：「3是素数，5是素数，7是素数，9不是素数，反证！因此以上的命题是错误的！」而物理学家说：「3是素数，5是素数，7是素数，9是实验错误，11是素数，……」那个工程师也开口讲话：「3是素数，5是素数，7是素数，9是素数，11是素数，……」

虽然那位中学生听得一头雾水，但倒觉得很有趣，便向他们再请教了，说：「甚么是圆周率？」数学家回答说：「圆周率是一个数表示圆的圆周和直径的比。」物理学家回答说：「圆周率是3.1415927正负0.00000005。」工程师则回答说：「圆周率差不多是3。」

突然间，车厢里又走来了一个五六岁的小朋友，这小朋友看见中学生便问他说：「哥哥，我想问一下，2+2的答案是多少？」中学生便立即回答说：「小朋友，答案是4。」而小朋友亦十分高兴说：「谢谢！」然后便离开，在离开时边走边大叫着：「爸爸，我要冰淇淋，答案是4！我要冰淇淋，答案是4！」另一方面，工程师拿出了计算尺，物理学家拿出了一些实验仪器，而数学家则拿出一叠纸和一支铅笔，然后便各有各忙，看似有重要事情处理。

二分钟后，工程师首先发言说：「2+2的答案是3.9974。」其余两位则继续忙着，没有答话。而中学生却大惑不解，但他对物理学家和数学家所忙的事很有兴趣，所以他并没有离开。三小时后，也是火车的接近中途站时，物理学家便突然停下来，像是有重大事情要宣布，他用手帕抹了汗后便说：「经过我反复的实验，2+2的答案约是4.002，最大误差是0.0005。」数学家继续他的工作，工程师和物理学家各自休息，而中学生则更觉困惑，但他却期待着数学家的结果，他想：「数学家应该有正确答案的。」可惜，一直至晚上数学家依然在他的思考之中，在晚餐的时间亦没有到餐厅车厢中进膳，只见物理学家和工程师拿了一些牛油和面包，相信是给数学家吃的。直至第二天早上，物理学家、工程师和数学家都到来吃早餐，中学生看到数学家，只见数学家的精神状态不错，但双眼跟熊猫却没有两样。中学生向他们三位打招呼后，便问数学家所得出的结果如何，数学家略带羞愧的说：「唉……我还是没法算出答案，我只能证明出2+2的答案的存在性。」这一次，中学生简直是被气坏了！

不久火车经过一个草原，草原上有一只黑色的绵羊，工程师便说：「啊哈！我看到欧洲的绵羊都是黑色的！」物理学家纠正工程师的错误说：「哼！我是想你是要说有一些欧洲的绵羊是黑色的。」而数学家便再加以修正说：「啊！不对。我们现在所知的只不过是欧洲最少有一只绵羊，而这只绵羊的一边是黑色的！」

数学的智能

中学生也被弄得头痛了，不过突然想起一个问题便说道：「怎样可以用最少的材料把一群羊围绕起来？」工程师说：「先把羊群集合在一起像一个圆的形状，然后用篱笆把它们围绕起来止。」物理学家则说：「我认为可以先建一个直径是无穷的圆篱笆，然后让它收缩至到能把那些羊群围绕起来。」而数学家思想了一会之后便说：「建一个篱笆把自己包围起来，然后说：『自己在篱笆的外面。』便可！」

傍晚六时，火车终于到达目的地，三位好朋友便下车找一间酒店渡宿。在半夜时，工程师突然醒来嗅到一般浓味，他开门出来看到走廊起火，他就用房里的垃圾桶装满水把水倒向火，然后就回去睡。

过了不久，物理学逐起身嗅到烟味。他打开门也看到走廊有火，他走到有救火的水管，于是计算火的速度、距离、水压、水射向火场的轨迹等等，最后以最少量的水及能量把火熄灭，然后就回去睡。在这之后，数学家也一样嗅到烟味。他走到走廊去看火烧以及救火水管。他想了一会儿，叫道：「啊！有解决的方法！」于是就走回去再睡了。因数学家没有把火熄灭，所以工程师和物理学家也嗅到了烟味，各自用他用的方法灭火。火熄灭了，工程师和物理学家都回到房间去睡，也平平安安地渡过了这一晚。

翌日的早上，当各人都到酒店的餐厅吃早餐，正当工程师和物理学家想问数学家昨晚为何不去灭火时，酒店的其中一部自助咖啡机无故着火，工程师立即取了一个清洁用的水桶装满水，把水倒向火，就像昨晚一样。当各人以为可以放心的时候，餐厅另一边的一部自助咖啡机又着了火，这之反应最快的却是数学家了，他以最快的速度拿起水桶，当各人以为他去灭火时，他却只是把水桶交到工程师的手里，然后便慢条斯理地回到原来的座位吃早餐，当然工程师也急切地再次灭火。

当所有火都熄灭后，工程师和物理学家都气冲冲地回到他们的座位，第一件事便是问数学家为甚么在昨晚和刚才都不去灭火，而数学家的答案则是：「原因很简单，昨晚我想通了知道，你们会去灭火，所以我只要回去睡便可以了；同样地，我知工程师只需要有一个桶便可灭火，所以我便助他一把，把水桶交给他。」说完后，便得意洋洋地继续吃早餐，其实工程师和物理学家是很了解数学家的性格的，所以刚才的怒火也熄灭了！

因为发生多宗的火警，他们都觉得要转住另一间的酒店，所以在早餐后便立即退房，转投另一间的酒店。当办妥住宿的手续后，因时间尚早，便租了一个热气球到处欣赏风景，当气球飘进一峡谷内不久，他们便迷了路，那个控制气球的工作人员也很不安。这时候物理学家便说：「我有一个想法，我们能在这里喊救命，而回音能把我们的声音传到遥远的地方去。」于是他们一同靠在篮子的边沿大声地叫：「哈啰……！我们在哪里……？」他们也听到几次的回音。二十分钟后，他们听到了几声：「哈啰……！你们迷路了……！」工程师说：「这个人一定是个数学家。」那个工作人员和数学家也感到迷惑，而物理学家则暗暗发笑，像是很明白和同意工程师的推测。那个工作人员便问道：「为甚么你这么说？」工程师回答：「有三个理由。第一，他要这么久才回答。第二，他是绝对正确的。第三，他的答案完全是无用的！」工程师和物理学家也同时看着数学家的表情，而数学家也真是一脸无奈，也有点被气坏了的感觉。不过，无论如何目前最重要的事是找出路，幸好在天黑之前，他们找到了出路，但回到酒店也经已是九时许了。

这次的旅程也算得上不错，但自从热气球那天之后，数学家每天也闷闷不乐，若有所思。在回程时，物理学家为了调和气氛，便说起一个月前理学院院长对物理系的教授们说的一番话。那位理学院院长说：「为甚么我要不断地给你们的实验室，珍贵的仪器及器材提供这么多钱？你们能不能像数学系那样──他们只要钱买铅笔、纸和废纸箱。或者更好的是像哲学系的教授，他们只要铅笔和纸就够了。」其实这番话是入木三分的，不过这时候也提不起数学家的兴趣，三人便在机仓中一言不发了。

旅程后的几天，数学家决定放弃数学，不再从事这方面的研究，于是他去消防局并宣称他想当救火员。当面试时，消防局长说：「看来，你是可以当的，我很愿意聘请你，可是首先让我给你一个考试。」局长把数学家带到后巷，那里有一辆垃圾车，一条水管和水笼头。局长就说：「假定你走到后巷，看到垃圾车着火，你怎么办？」数学家说：「我会把水管接到水笼头，然后向垃圾车喷射。」「好！如果垃圾车没有着火呢？」数学家想了一会，就说：「我把垃圾车点火。」「甚么？你为甚么这么做？」「因为我可以把问题转化成我已经解决的情况。」这样当然不被取录！数学家只好继续他数学家的生涯！

微分方程的Lie对称形成一个群，微分方程的Lie对称群理论是Sophus Lie在19世纪晚期创立的，Lie群是微分方程独立和非独立变量的可逆点变换，同时也可依赖于连续参数。Lie指出这种类型的群对构建微分方程的解有着重要的意义。Lie证明了利用对称群变换来寻求微分方程的解的方法具有统一性和可扩展性。其重要性可总结如下：

（1） 常微分方程的降阶

（2） 解的映射

（3） 偏微分方程独立变量的简化

（4） 不变量解的构建

（5） 边值问题的不变量解的构建

（6） 守恒律的构建

（7） 微分方程线性转换的检验

要实现以上任何一种用途，首先必须找到方程的对称（群），Lie提出一种基于无穷小准则理论的方法来寻求原方程的对称（群）。这些无穷小决定方程的解就用于对称（群）变换。

Lie（点）对称是微分方程系统的独立及非独立变量的空间点变换。在这种对称（群）变换作用下，每个点沿类似于微粒轨道的路径运动，所有的点路径家在一起形成可看作流体的流动，流动的切线分量代表它的速度向量域，也即微分算子，物理意义为流动流体的速率变化率。

寻求给定微分方程的对称（群）牵涉到建立和求解联合线性同构偏微分方程系统的问题，决定方程的对称特性是怎样产生的呢？

“对称”的概念的原则在数学及物理学中都扮演着重要的角色，于是出现了利用对称变换的方法来寻求微分方程的精确解的例子。对称分析是一种求解微分方程的系统的、精确的方法。替代求解非线性偏微分方程的方法是逆散射方法，这种方法仅仅适用于完全可积方程，而对称分析还可研究不完全可积方程的运动，其主要的缺点就是要涉及大量的计算。

目前，用于非线性微分方程的求解方法大多分为两大类：一是解析方法^[6~10]；二是数值方法^[11~13]。

数值方法近年来发展极快，现已经成为流体力学各分支中不可缺少的工具。有限差分、有限元、有限体积、边界元、谱方法^[14,15]和辛算法^[16]等方法的出现，推动了计算流体力学的发展，并由此建立了较完整的理论体系，即稳定性理论、数值耗散和色散分析、网格生成和自适应技术、迭代和加速收敛方法; 提出了求解自由边界问题的多种拉格朗日和欧拉的混合方法，计算包含复杂激波系的复杂流场的高精度格式等。现将具有代表性的几种数值方法简单介绍如下：

有限差分方法(FDM)^[12]是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。该方法将 求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而 建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。该方法是一种直接将微分问题变为代数 问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。

有限元方法(FEM)^[17]的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值模拟。

有限体积法(FVM)^[18]又称为控制体积法。其基本思路是：将计算区域划分为一系列不重复的控制体积，并使每个网格点周围有一个控制体积；将待解的微分方程对每一个控制体积积分，便得出一组离散方程。其中的未知数是网格点上的因变量的数值。为了求出控制体积的积分，必须假定值在网格点之间的变化规律，即假设值的分段的分布剖面。从积分区域的选取方法看来，有限体积法属于加权剩余法中的子区域法；从未知解的近似方法看来，有限体积法属于采用局部近似的离散方法。简言之，子区域法属于有限体积发的基本方法。

边界元法(BEM)^[19]是在有限元法之后发展起来的一种较精确有效的工程数值分析方法。又称边界积分方程-边界元法。它以定义在边界上的边界积分方程为控制方程，通过对边界分元插值离散，化为代数方程组求解。它与基于偏微分方程的区域解法相比，由于降低了问题的维数，而显著降低了自由度数，边界的离散也比区域的离散方便得多，可用较简单的单元准确地模拟边界形状，最终得到阶数较低的线性代数方程组。又由于它利用微分算子的解析的基本解作为边界积分方程的核函数，而具有解析与数值相结合的特点，通常具有较高的精度。

利用解析法求解的问题主要是线性现象，而基于分析方法的渐近展开法日趋成熟，多种渐近法^[20,21](如匹配展开法、多重尺度法、平均变分法等)被广泛运用于求解弱非线性问题。此外，试探函数法、行波法、相似变换和自相似法、特殊变换法(特征线方法、因变量或自变量变换、Hopf-Cole变换、Hirota双线性法)、逆散射法、Backlund变换法、Darboux变换法、常系数Riccati展开法等也有较多应用^[22~26]。

抛开数值法及解析法范畴，纯粹数学中的泛函、群论、拓扑学、微分动力学等也不失为研究非线性问题的有效手段。本文正是结合群论研究李群在偏微分方程数值求解中的降维简化方法。

非线性科学，目前有六个主要研究领域，即：混沌、分形、模式形成、孤立子、元胞自动机，和复杂系统。而构筑多种多样学科的共同主题乃是所研究系统的非线性。

（一）总论
非线性科学是一门研究非线性现象共性的基础学科。它是自本世纪六十年代以来，在各门以非线性为特征的分支学科的基础上逐步发展起来的综合性学科，被誉为本世纪自然科学的“第三次革命”。非线性科学几乎涉及了自然科学和社会科学的各个领域，并正在改变人们对现实世界的传统看法。科学界认为：非线性科学的研究不仅具有重大的科学意义，而且对国计民生的决策和人类生存环境的利用也具有实际意义。由非线性科学所引起的对确定论和随机论、有序与无序、偶然性与必然性等范畴和概念的重新认识，形成了一种新的自然观，将深刻地影响人类的思维方法，并涉及现代科学的逻辑体系的根本性问题。
（二）线性与非线性的意义
“线性”与“非线性”是两个数学名词。所谓“线性”是指两个量之间所存在的正比关系。若在直角坐标系上画出来，则是一条直线。由线性函数关系描述的系统叫线性系统。在线性系统中，部分之和等于整体。描述线性系统的方程遵从叠加原理，即方程的不同解加起来仍然是原方程的解。这是线性系统最本质的特征之一。“非线性”是指两个量之间的关系不是“直线”关系，在直角坐标系中呈一条曲。
最简单的非线性函数是一元二次方程即抛物线方程。简单地说，一切不是一次的函数关系，如一切高于一次方的多项式函数关系，都是非线性的。由非线性函数关系描述的系统称为非线性系统。
（三）线性与非线性的区别
定性地说，线性关系只有一种，而非线性关系则千变万化，不胜枚举。线性是非线性的特例，它是简单的比例关系，各部分的贡献是相互独立的；而非线性是对这种简单关系的偏离，各部分之间彼此影响，发生偶合作用，这是产生非线性问题的复杂性和多样性的根本原因。正因为如此，非线性系统中各种因素的独立性就丧失了：整体不等于部分之和，叠加原理失效，非线性方程的两个解之和不再是原方程的解。因此，对于非线性问题只能具体问题具体分析。线性与非线性现象的区别一般还有以下特征：（1）在运动形式上，线性现象一般表现为时空中的平滑运动，并可用性能良好的函数关系表示，而非线性现象则表现为从规则运动向不规则运动的转化和跃变；（2）线性系统对外界影响的响应平缓、光滑，而非线性系统中参数的极微小变动，在一些关节点上，可以引起系统运动形式的定性改变。在自然界和人类社会中大量存在的相互作用都是非线性的，线性作用只不过是非线性作用在一定条件下的近似。
（四）非线性问题研究的历史概况
非线性问题的“个性”很强，处理起来十分棘手。历史上曾有过一些解非线性方程的“精品”，但与大量存在的非线性方程相比，只能算是“凤毛麟角”。因此，长期以来，对非线性问题的研究一直分散在自然科学和技术科学的各个领域。本世纪六十年代以来，情况发生了变化。人们几乎同时从非线性系统的两个极端方向取得了突破：一方面从可积系统的一端，即从研究多自由度的非线性偏微分方程的一端获得重大进展。如在浅水波方程中发现了“孤子”，发展起一套系统的数学方法，如反散射法，贝克隆变换等，对一些类型的非线性方程给出了解法；另一方面，从不可积系统的极端，如在天文学、生态学等领域对一些看起来相当简单的不可积系统的研究，都发现了确定性系统中存在着对初值极为敏感的复杂运动。促成这种变化的一个重要原因十计算机的出现和广泛应用。科学家们以计算机为手段，勇敢地探索那些过去不能用解析方法处理的非线性问题，从中发掘出规律性的认识，并打破了原有的学科界限，从共性、普适性方面来探讨非线性系统的行为。
（五）非线性科学研究的范围
非线性科学的研究范围究竟有多大？目前尚无定论。有人主张，非线性科学应包括那些可以定量分析、精确计算、有数学理论或实验研究的领域。也有人认为，耗散结构、协同学、突变论等应划归非线性科学，因为这“三论”中的许多定量分析，有些概念和方法（如分岔、自组织、图形、分维等——是和非线性科学相同的。值得注意的是，这“三论”中有些内容是带有哲理性或思辩色彩的。但非线性科学的主体是明确的，这就是混沌（Chaos）、分形（Fractral）、孤子（Soliton）。）——孤立波与孤立子孤子或孤波为一种特殊的相干结构，是由于系统中的色散与非线性两种作用相互平衡的结果。事实上，虽然孤立子或孤立波一词常在广泛的范围内被引用，但无一般形式的定义，因为它还在发展中，给它下个严格的定义比较困难，且为时尚早。通常孤立波也叫定域行波，也就是“前无古人，后无来着”，一个孤零零的波在传播。而在应用数学和工程中，孤立子被理解为非线性演化方程局部化的行波解，经过互相碰撞后不改变波形和速度（或许相位发生变化）。在粒子物理等领域内，孤立子被看做是具有某个“安全系数”的特殊孤立波，在相互作用
时，波形与速度只有微弱改变的孤立波，或被理解为：非线性演化方程能量有限的解，这些能量集中在空间有限区域，不随时间扩散到无限区域中去。可见，不是所有的孤立波都是孤立子，但有时人们并不严格区分二者。孤立子的特点是，有出奇的稳定性，如同刚性粒子一样。在空间上局域，在时间上长寿。除孤立子外，自然界还存在大量的其他相干结构。它们与孤立子的不同之处在于，它们在相互作用时并不严格保持形状不变，而是汇合、分裂。最引人注目的是各种尺度的涡旋。几个流体涡旋可集合成一个大斡，一个大涡可被强大的外力作用打碎。对这些结构形成机理的认识和它们之间的相互作用的研究仍是非线性科学的前沿。
（七）——混沌
混沌是确定性系统中由于内禀随机性而产生的一种外在复杂的、貌似无规的运动。混沌并不是无序和紊乱，更像是没有周期的秩序。在理想模型中，它可能包含着无穷的内在层次，层次间存在着“自相似性”。混沌的行为归宿就是奇怪吸引子，即分形。对混沌的研究是从对微分方程求解开始的。二十世纪初，著名的法国数学家和理论天文学家庞加莱发现某些特殊的微分方程的可解性与解值对其初始条件极为敏感，初始条件的细微差别可导致其解值的巨大偏差，甚至产生无解现象。但他的发现没有引起数学家和物理学家的重视。1963年，美国气象学家洛仑兹在计算机上用他建立的微分方程模拟气象变化的时候，偶然发现输入的初始条件的极细微的差别，可以引起模拟结果的巨大变化。洛仑兹打了个比喻说，在南半球某地一只蝴蝶的翅膀的偶然扇动所引起的微小气流几星期后可能变成席卷北半球某地的一场龙卷风，这就是天气的“蝴蝶效应”。它的本质仍然是非现性耦合。洛仑兹的发现意味着混沌理论的诞生。
（八）——分形
分形是不能用通常的长度、面积、体积表示的几何形体，其内部存在着无穷层次，具有见微知著、由点及面的自相似结构。自相似即局部与整体的相似性。适当放大或缩小几何尺寸，分形的真个结构并不改变，这就是标度不变性。海岸线，闪电，松花蛋或数枝等，就具有分形特征。换言之，分形是局部以某种方式与整体相似的形态。分形可分多种类型，如简单分形、自仿射分形、多分形、随机分形、胖分形及复平面上的分形等。描述分形特征的参数叫分维。据称，分形理论开创了20世纪数学的新阶段，是刻画混沌运动的直观的几何语言，是更接近于现实生活的数学。它是美籍法国数学家罗德尔布罗特在本世纪70年代中期创立的。
（九）——小波
小波（Wavelet）分析技术是揭示分形局域标度性质的有力工具。可以说，分形概念的出现为人们认识事物的局部与整体的关系提供了以种辨证的思维方式，为描述自然和社会的复杂现象提供了以种简洁有力的几何语言。而小波分析，则是在工具和方法上的重大突破，以成功地应用于许多非线性问题的研究中。小波，也叫子波，从数学上说，小波是满足一定条件的函授（母小波）通过平移和伸缩得到的函授族。这一方法是从傅立叶变换中发展起来的，其核心是多分辨分析。它不仅可以实现信号的时频局部化，而且与加窗傅氏变换相比，具有局部化格式随频率高低变化的优点。通过小波变换，可以看到分析的丰富细节，为推测动力学根源提供了方便。

南方周末　 　2001-10-26 09:38:17

费尔马最后的定理—纪念费尔马诞辰四百周年□蔡天新

　　这位隐身独处的天才有一种不可遏制的邪恶癖好，他和别人的通信其实是一种智力上的挑逗。费尔马经常写信叙述他的最新定理，却不愿意透露任何证明的线索，这种挑衅性的行为着实使收信人恼恨。在“费尔马最后的定理”之后，数学宝库里还有黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孪生素数猜想，还有毕达哥拉斯时代遗留下来的完美数和友好数问题。这些问题或猜想有的难度更大，有的历史更久，可是就传奇色彩来说，却没有一个比得上“费尔马最后的定理”。

１

英国哲学家怀特海把十七世纪称为“天才的世纪”。在那个世纪之初，也即距今整整四百年前，诞生了伟大的法国数学家皮埃尔·德·费尔马。

在费尔马之后，法国人帕斯卡尔、荷兰人惠更斯、英国人牛顿和德国人莱布尼茨接连出世；而在费尔马之前，德国人开普勒、意大利人伽利略和法国人笛卡尔生命中的大部分时光也是在十七世纪度过的。在这八位彪炳史册的科学巨人中，惟有费尔马把他的全部才智奉献给了纯粹数学，即被牛顿斥为“无意义的谜语的相互逗趣”的理论。与此相反，牛顿把他的数学应用于物理世界，他对数学所作的惟一的划时代贡献就是创立了微积分，一门最初仅用来描述与距离、速度和加速度有关的引力定律或力学定律的科学分支。

虽然如此，并且随后又发生了与莱布尼茨的发明优先权之争（这场争论使得英国和欧洲大陆学术交流中断了一个世纪），牛顿依然得以跻身历史上最伟大的数学家之列。而在牛顿去世两百多年以后，有人才在他的一篇文章中发现一个注记，原来他的微积分是在“费尔马先生画切线的方法”基础上发展起来的。

　　由此我们产生了一个疑问，为什么费尔马没有去走最后那并非最困难的一步？与其说当时英国的工业革命已走在法国人的前面，倒不如说还有一项事业更让费尔马倾心，即在任何时代都容易被认为毫无用处的数学分支————数论。如果再大胆一点，我们甚至可以推测费尔马当时已经预见到，微积分的出现会扭转整个数学的研究方向，会把数学家们卷入到在他看来并不太有趣的繁琐事务中去，因而他宁肯不要发明权这份荣誉。这个观点并非危言耸听，假如考虑到那个被称为“费尔马大定理”或“费尔马最后的定理”的谜语在他身后三百五十多年才得以揭开的话。

　　费尔马出生在法国南部的小镇博蒙·德洛马涅，父亲是一位富有的皮革商人，这使他有机会进入方济各会修道院学习，随后又来到附近的图卢兹大学做事。三十岁那年，费尔马遵从家人的意愿，开始了文职官员的生涯，他被任命为隶属图卢兹议会的上访接待室的法律顾问。费尔马的仕途颇为顺利，很快成为当地有头有脸的人物，甚至有资格以德（ｄｅ）作为姓氏的一部分。可是，这并非他的雄心所致，而是当时蔓延欧洲的腺鼠疫帮了忙，幸存者被提升去填补死亡者的空缺。

　　费尔马如今被誉为“业余数学家之王”，这方面的兴趣和才能在他早年所受教育里没有任何佐证。对他最有影响的导师是一部叫《算术》的古希腊著作，那是古代世界最后一部重要的数学著作。作者是亚历山大里亚的丢番图，其生活的年代已不可考，人们只能大致推断是在纪年前后的五百年间。在躲过了基督教和伊斯兰教的双重劫难以后，包括欧几里德的《几何原本》在内的希腊数学名著在十二世纪由阿拉伯文翻译成了拉丁文，那是数学史上有名的翻译时代，阿拉伯和印度的数学成就也在这个时候被介绍到了西方，其中尤以巴格达的花拉子密最负盛名，正是他命名了代数学。实际上，在欧洲人放弃对高尚的真理追求的时候，阿拉伯人悄悄地把那些从亚历山大里亚的余烬中拾取出来的知识汇总起来，并用新的更为有效的语言重新加以解释和保存。

奇怪的是，丢番图的《算术》却似乎从未进入过阿拉伯学者的视线，直到１４５３年，土耳其人洗劫了君士坦丁堡，即那座如今横跨亚欧两大洲的城市———伊斯坦布尔，这部书的一个希腊文残本才被逃往西方的拜占庭学者带出。这场劫难与发生在图卢兹的那次鼠疫正好相隔了两个世纪，等到《算术》终于被一位法国古典学者翻译成拉丁语并自费出版时，费尔马刚好满二十岁，数学史上的一个重要角色注定要由他来扮演。

费尔马担任的司法事务占据了他白天的工作时间，而夜晚和假日几乎全被他用来研究数学了。部分原因是那个时候的法国反对法官们参加社交活动，理由是朋友和熟人可能有一天被法庭传唤，与当地居民过分亲密会导致偏袒。正是由于孤立于图卢兹上流社会的交际圈之外，费尔马才得以专心于他的业余爱好。

除了前面提到的因为切线及其极值点方法的使用被认为是微分学的创始人以外，他还独立于笛卡尔发现了解析几何的基本原理，并通过和帕斯卡尔的通信共同创立了概率论。甚至在光学方面，也有流传至今的所谓“费尔马原理”，即光线永远沿使其经历的时间最短的路径行进。然而，所有这些工作在费尔马心目中均不如他写在《算术》书页空边上的一系列短小的评注，那些纯粹属于智力的数字游戏，他一直被一种强烈的欲望————想要了解自然数的性质以及它们之间的相互关系———所驱使。　

《算术》虽然成书在一千多年前，可是中间隔着漫长的中世纪，大量的数学经典文献被完全遗忘了，费尔马得到此书一定如获至宝。书中提出了一百多个数学问题，丢番图本人逐一予以解答，这种认真的做法却不是费尔马的习惯。在研究丢番图的问题和解答时，费尔马经常得到启示去思索和解决一些相关的微妙问题。令人庆幸的是，这部译著的每一页书边都留有宽大的空白，有时候他会匆匆地在那里写下推理或评注。对于后世的数学家们来说，这些不太详尽的注记成了用之不竭的一笔财富。

像那个时代的大多数数学家一样，费尔马对自己的研究结果守口如瓶，如果没有一个叫梅森的神父的竭力鼓动，他甚至可能不会与别的数学家通信。这位神父不仅热衷探讨整数的性质（他以梅森素数在数学史上留芳），而且喜欢旅行和传播消息，并定期安排数学家们的各种聚会，他的圈子后来形成法兰西学院的雏形。不过，梅森也因为“泄密”得罪了笛卡尔那样的朋友，可是，对于生活在边远山区的费尔马来说，神父的每次到访都是受欢迎的，他的影响力大概仅次于丢番图的《算术》。

尽管梅森神父一再鼓励，费尔马仍固执地拒绝发表自己的结果，他是个缄默的天才，放弃了许多次成名的机会。得到人们的承认对他来说毫无意义，惟有新的定理的发现带给他秘密的喜悦，这一点足以让他感到满足。然而，这位隐身独处的天才有一种不可遏制的邪恶的癖好，他和别人的通信其实是一种智力上的挑逗。费尔马经常写信叙述他的最新定理，却不愿意透露任何证明的线索，这种挑衅性的行为着实使收信人恼恨，笛卡尔就指责他为“吹牛者”，牛顿的前辈沃利斯则管他叫“那个该诅咒的法国佬”。费尔马尤其喜欢捉弄海峡对岸的同行，因为直到他生活的年代，英国尚未产生过一位可以和他媲美的数学家。六十四岁那年，费尔马到邻近的塔恩省的小镇卡斯特尔执行公务，不幸染上一种严重的疾病去世。综观费尔马的一生，他的活动范围不超过两百公里，这一点与佛陀释迦牟尼一样。

著名的英国古典学者贡布里希爵士在谈到文艺复兴初期的意大利画家乔托时指出，“在乔托之前，人们看待艺术家就像看待一个出色的木匠和裁缝一样，他们甚至不在自己的作品上署名”。同样，当帕斯卡尔催促费尔马发表某个结果时，他回答说，“不管我的哪项工作被确认值得发表，我也不想在其中出现我的名字”。

　　由于费尔马与巴黎的数学界不相往来，他的通信者对他未必怀有好感，因此当他在梅森神父之后突然去世时，他的各种发现处于被永远遗失的危险之中。幸亏费尔马的长子克莱蒙—塞缪尔（他对数学的贡献如同卡夫卡的遗嘱执行人布罗德对文学的贡献）意识到父亲的业余爱好具有重要的价值，他花了五年时间研读父亲涂写在页边的文字，整理出了４８条评注。１６７０年，一本叫《附有皮埃尔·德·费尔马评注的丢番图的算术》的书在图卢兹出版了，而被后人称为“费尔马最后的定理”（费尔马从未与通信者提起过）即为其中的第２条评注。

　　数学家们奉行的保密原则起始于古希腊，早在公元前六世纪，神秘主义哲学家毕达哥拉斯就严格禁止他的弟子们把数学发现泄密给外人，否则会招来杀身之祸。

　　毕氏学派最有意味的发现之一是所谓的“毕达哥拉斯定理”，即直角三角形的两个直角边长的平方和等于斜边长的平方和。虽然中国人和巴比伦人发现这个秘密比希腊人要早得多，可是他们都没能给出证明。而毕达哥拉斯不仅予以严格的证明，并且从这个几何问题中提炼出有关整数的方程（后人称之为丢番图方程），即如何将一个平方数写成两个平方数之和，他探讨了满足这个方程的所有三元数组，其中最小的一组当然是（３，４，５）。在丢番图的《算术》里，这个问题的编号是第８，正是在靠近问题８的页边上，费尔马写下了下面这段文字：

　　“不可能将一个立方数写成两个立方数之和，或者，将一个４次幂写成两个４次幂之和，总之，不可能将一个高于２次的幂写成两个同次幂的数之和。”

　　在这个评注的后面，这位好恶作剧的遁世者又草草地写下一个附加的注中之注：“对此命题我有一个非常美妙的证明，可惜此处的空白太小，写不下来。”随着克莱蒙—塞缪尔所编的书的出版，这个问题在后来的三百多年间闻名于世，同时也苦恼了一代又一代最有智慧的头脑，包括欧拉和柯西这样伟大的数学家都曾经全身心地投入并栽了跟头。

最后，在上个世纪行将结束之际，在费尔马的其他问题和评注全部解决之后，一位叫安德鲁·怀尔斯的沉默寡言的英国人，澄清了这个历史疑案。

怀尔斯是个幸运儿，他实际上证明的是以两位日本数学家名字命名的谷山—志村猜想，后者可以直接导出费尔马大定理。值得一提的是，那两位日本数学家在而立之年就完成了这项工作，他们属于最富创造力的一代，虽然所受的教育经常被战争和疾病中断。１９５８年，年仅３１岁的谷山在自己的寓所自杀，那年怀尔斯才五岁。谷山的遗嘱表明，他对自己的生活失去了信心，他至死都不知道自己工作的伟大意义。

怀尔斯的证明动用了现代数学许多最深刻的结果和方法，这些工作中的相当一部分都是受“费尔马最后的定理”的刺激发展起来的。现在，无人能够做出预测。当这条惊人的消息从伦敦传出，我正在香港大学参加一个国际学术会议，当代最伟大的数论学家、挪威出生的美国人赛尔伯格作完了一次特邀报告，他念叨着那位年轻的普林斯顿同事的名字，脸上露出一丝难言的笑容。四十多年前，赛尔伯格因为用初等方法证明了“素数定理”获得菲尔兹奖，现在他终于要彻底退休了。

自从牛顿和莱布尼茨发明微积分以后，数学的应用价值越来越为人们所知，数学家们被迫去从事一些新领域的研究，这些领域包括从粒子物理到生命科学，从航空技术到地质勘探等几乎一切应用学科。与此同时，在这个越来越讲究实际的时代，以费尔马毕生钟爱的数论为代表的纯粹数学逐渐不为人重视。或许是害怕被人冷落，数学家们每隔一段时间会抛出一条特大新闻，于是费尔马的头像上了《纽约时报》的头版头条。

在“费尔马最后的定理”之后，数学宝库里还有黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孪生素数猜想，还有毕达哥拉斯时代遗留下来的完美数和友好数问题。这些问题或猜想有的难度更大，有的历史更久，可是就传奇色彩来说，却没有一个比得上“费尔马最后的定理”。

　　蔡天新，浙江大学数学系教授，博士生导师，著有诗集、散文集多种。

数学大发展的世纪。数学的许多重大难题得到完满解决， 如费尔玛大定理的证明，有限单群分类工作的完成等， 从而使数学的基本理论得到空前发展。 

计算机的出现是20世纪数学发展的重大成就，同时极大推动了数学理论的深化和数学在社会和生产力第一线的直接应用。回首20世纪数学的发展， 数学家们深切感谢20世纪最伟大的数学大师大卫. 希尔伯特。希尔伯特在1900年8月8日于巴黎召开的第二届世界数学家大会上的著名演讲中提出了23个数学难题。希尔伯特问题在过去百年中激发数学家的智慧，指引数学前进的方向， 其对数学发展的影响和推动是巨大的，无法估量的。 

效法希尔伯特， 许多当代世界著名的数学家在过去几年中整理和提出新的数学难题， 希冀为新世纪数学的发展指明方向。 这些数学家知名度是高的， 但他们的这项行动并没有引起世界数学界的共同关注。  

    2000年初美国克雷数学研究所的科学顾问委员会选定了七个”千年大奖问题”， 克雷数学研究所的董事会决定建立七百万美元的大奖基金，每个”千年大奖问题”的解决都可获得百万美元的奖励。克雷数学所”千年大奖问题”的选定，其目的不是为了形成新世纪数学发展的新方向， 而是集中在对数学发展具有中心意义、数学家们梦寐以求而期待解决的重大难题。 

    2000年5月24日， 千年数学会议在著名的法兰西学院举行。 会上，98年费尔兹奖获得者伽沃斯（Gowers）以”数学的重要性”为题作了演讲， 其后，塔特（ Tate）和阿啼亚 (Atiyah) 公布和介绍了这七个”千年大奖问题”。 克雷数学研究所还邀请有关研究领域的专家对每一个问题进行了较详细的阐述。克雷数学研究所对”千年大奖问题”的解决与获奖作了严格规定。 每一个”千年大奖问题”获得解决并不能立即得奖。任何解决答案必须在具有世界声誉的数学杂志上发表两年后且得到数学界的认可， 才有可能由克雷数学研究所的科学顾问委员会审查决定是否值得获得百万美元大奖。 

这七个”千年大奖问题”是： NP 完全问题， 郝治（Hodge） 猜想， 庞加莱（Poincare） 猜想， 黎曼（Rieman ）假设，杨－米尔斯 (Yang-Mills) 理论, 纳卫尔－斯托可（Navier-Stokes）方程， BSD（Birch and Swinnerton-Dyer）猜想。 

    ”千年大奖问题”公布以来， 在世界数学界产生了强烈反响。这些问题都是关于数学基本理论的，但这些问题的解决将对数学理论的发展和应用的深化产生巨大推动。 认识和研究”千年大奖问题”已成为世界数学界的热点。不少国家的数学家正在组织联合攻关。 可以预期， ”千年大奖问题” 将会改变新世纪数学发展的历史进程。  

北京大学数学学院院长 张继平  

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　　高斯(Gauss 1777~1855)生于Brunswick，位于现在德国中北部。他的祖父是农民，父亲是泥水匠，母亲是一个石匠的女儿，有一个很聪明的弟弟，高斯这位舅舅，对小高斯很照顾，偶而会给他一些指导，而父亲可以说是一名「大老粗」，认为只有力气能挣钱，学问这种劳什子对穷人是没有用的。

  　　高斯很早就展现过人才华，三岁时就能指出父亲帐册上的错误。七岁时进了小学，在破旧的教室里上课，老师对学生并不好，常认为自己在穷乡僻壤教书是怀才不遇。高斯十岁时，老师考了那道著名的「从一加到一百」，终于发现了高斯的才华，他知道自己的能力不足以教高斯，就从汉堡买了一本较深的数学书给高斯读。同时，高斯和大他差不多十岁的助教Bartels变得很熟，而Bartels的能力也比老师高得多，后来成为大学教授，他教了高斯更多更深的数学。

 　　老师和助教去拜访高斯的父亲，要他让高斯接受更高的教育，但高斯的父亲认为儿子应该像他一样，作个泥水匠，而且也没有钱让高斯继续读书，最后的结论是－－去找有钱有势的人当高斯的赞助人，虽然他们不知道要到哪里找。经过这次的访问，高斯免除了每天晚上织布的工作，每天和Bartels讨论数学，但不久之后，Bartels也没有什么东西可以教高斯了。  1788年高斯不顾父亲的反对进了高等学校。数学老师看了高斯的作业后就要他不必再上数学课，而他的拉丁文不久也凌驾全班之上。 1791年高斯终于找到了资助人－－布伦斯维克公爵费迪南(Braunschweig)，答应尽一切可能帮助他，高斯的父亲再也没有反对的理由。隔年，高斯进入Braunschweig学院。这年，高斯十五岁。在那里，高斯开始对高等数学作研究。并且独立发现了二项式定理的一般形式、数论上的「二次互逆定理」(Law of Quadratic Reciprocity)、质数分布定理(prime numer theorem)、及算术几何平均(arithmetic-geometric mean)。  1795年高斯进入哥廷根(G?ttingen)大学，因为他在语言和数学上都极有天分，为了将来是要专攻古典语文或数学苦恼了一阵子。到了1796年，十七岁的高斯得到了一个数学史上极重要的结果。最为人所知，也使得他走上数学之路的，就是正十七边形尺规作图之理论与方法。

 　　希腊时代的数学家已经知道如何用尺规作出正 2m×3n×5p 边形，其中 m 是正整数，而 n 和 p 只能是0或1。但是对于正七、九、十一边形的尺规作图法，两千年来都没有人知道。而高斯证明了：  　　一个正 n 边形可以尺规作图若且唯若 n 是以下两种形式之一：  1、n = 2k，k = 2, 3,…  2、n = 2k × (几个不同「费马质数」的乘积)，k = 0,1,2,…  　　费马质数是形如 Fk = 22k 的质数。像 F0 = 3，F1 = 5，F2 = 17，F3 = 257， F4 = 65537，都是质数。高斯用代数的方法解决二千多年来的几何难题，他也视此为生平得意之作，还交待要把正十七边形刻在他的墓碑上，但后来他的墓碑上并没有刻上十七边形，而是十七角星，因为负责刻碑的雕刻家认为，正十七边形和圆太像了，大家一定分辨不出来。  1799年高斯提出了他的博士论文，这论文证明了代数一个重要的定理：  　　任一多项式都有（复数）根。这结果称为「代数学基本定理」(Fundamental Theorem of Algebra)。 　　事实上在高斯之前有许多数学家认为已给出了这个结果的证明，可是没有一个证明是严密的。高斯把前人证明的缺失一一指出来，然后提出自己的见解，他一生中一共给出了四个不同的证明。

　　在1801年，高斯二十四岁时出版了《算学研究》(Disquesitiones Arithmeticae)，这本书以拉丁文写成，原来有八章，由于钱不够，只好印七章。  　　这本书除了第七章介绍代数基本定理外，其余都是数论，可以说是数论第一本有系统的着作，高斯第一次介绍「同余」(Congruent)的概念。「二次互逆定理」也在其中。  　　二十四岁开始，高斯放弃在纯数学的研究，作了几年天文学的研究。

　　当时的天文界正在为火星和木星间庞大的间隙烦恼不已，认为火星和木星间应该还有行星未被发现。在1801年，意大利的天文学家Piazzi，发现在火星和木星间有一颗新星。它被命名为「谷神星」(Cere)。现在我们知道它是火星和木星的小行星带中的一个，但当时天文学界争论不休，有人说这是行星，有人说这是彗星。必须继续观察才能判决，但是Piazzi只能观察到它9度的轨道，再来，它便隐身到太阳后面去了。因此无法知道它的轨道，也无法判定它是行星或彗星。 

　　高斯这时对这个问是产生兴趣，他决定解决这个捉摸不到的星体轨迹的问题。高斯自己独创了只要三次观察，就可以来计算星球轨道的方法。他可以极准确地预测行星的位置。果然，谷神星准确无误的在高斯预测的地方出现。这个方法－－虽然他当时没有公布－－就是「最小平方法」 (Method of Least Square)。  1802年，他又准确预测了小行星二号－－智神星(Pallas)的位置，这时他的声名远播，荣誉滚滚而来，俄国圣彼得堡科学院选他为会员，发现Pallas的天文学家Olbers请他当哥廷根天文台主任，他没有立刻答应，到了1807年才前往哥廷根就任。  1809年他写了《天体运动理论》二册，第一册包含了微分方程、圆椎截痕和椭圆轨道，第二册他展示了如何估计行星的轨道。高斯在天文学上的贡献大多在1817年以前，但他仍一直做着观察的工作到他七十岁为止。虽然做着天文台的工作，他仍抽空做其他研究。为了用积分解天体运动的微分力程，他考虑无穷级数，并研究级数的收敛问题，在1812年，他研究了超几何级数(Hypergeometric Series)，并且把研究结果写成专题论文，呈给哥廷根皇家科学院。  1820到1830年间，高斯为了测绘汗诺华(Hanover)公国（高斯住的地方）的地图，开始做测地的工作，他写了关于测地学的书，由于测地上的需要，他发明了日观测仪(Heliotrope)。为了要对地球表面作研究，他开始对一些曲面的几何性质作研究。  1827年他发表了《曲面的一般研究》 (Disquisitiones generales circa superficies curva)，涵盖一部分现在大学念的「微分几何」。

 　　在1830到1840年间，高斯和一个比他小廿七岁的年轻物理学家－韦伯(Withelm Weber)一起从事磁的研究，他们的合作是很理想的：韦伯作实验，高斯研究理论，韦伯引起高斯对物理问题的兴趣，而高斯用数学工具处理物理问题，影响韦伯的思考工作方法。  1833年高斯从他的天文台拉了一条长八千尺的电线，跨过许多人家的屋顶，一直到韦伯的实验室，以伏特电池为电源，构造了世界第一个电报机。  1835年高斯在天文台里设立磁观测站，并且组织「磁协会」发表研究结果，引起世界广大地区对地磁作研究和测量。  　　高斯已经得到了地磁的准确理，他为了要获得实验数据的证明，他的书《地磁的一般理论》拖到1839年才发表。  1840年他和韦伯画出了世界第一张地球磁场图，而且定出了地球磁南极和磁北极的位置。 1841年美国科学家证实了高斯的理论，找到了磁南极和磁北极的确实位置。 

　　高斯对自己的工作态度是精益求精，非常严格地要求自己的研究成果。他自己曾说：「宁可发表少，但发表的东西是成熟的成果。」许多当代的数学家要求他，不要太认真，把结果写出来发表，这对数学的发展是很有帮助的。

 　　其中一个有名的例子是关于非欧几何的发展。非欧几何的的开山祖师有三人，高斯、 Lobatchevsky（罗巴切乌斯基，1793～1856）， Bolyai（波埃伊，1802～1860）。其中Bolyai的父亲是高斯大学的同学，他曾想试着证明平行公理，虽然父亲反对他继续从事这种看起来毫无希望的研究，小Bolyai还是沉溺于平行公理。最后发展出了非欧几何，并且在1832～1833年发表了研究结果，老Bolyai把儿子的成果寄给老同学高斯，想不到高斯却回信道：  to praise it would mean to praise myself.我无法夸赞他，因为夸赞他就等于夸奖我自己。  　　早在几十年前，高斯就已经得到了相同的结果，只是怕不能为世人所接受而没有公布而已。

 　　美国的着名数学家贝尔(E.T.Bell)，在他着的《数学工作者》(Men of Mathematics) 一书里曾经这样批评高斯： 　　在高斯死后，人们才知道他早就预见一些十九世的数学，而且在1800年之前已经期待它们的出现。如果他能把他所知道的一些东西泄漏，很可能现在数学早比目前还要先进半个世纪或更多的时间。阿贝尔(Abel)和雅可比(Jacobi)可以从高斯所停留的地方开始工作，而不是把他们最好的努力花在发现高斯早在他们出生时就知道的东西。而那些非欧几何学的创造者，可以把他们的天才用到其他方面去。 

　　在1855年二月23日清晨，高斯在他的睡梦中安详的去世了。

华罗庚　中国数学的圆心

北京青年报 2001年6月29日

病愈自勉

华罗庚

呼伦贝尔骏马，

珠穆朗玛雄鹰，

驰骋草原志千里，

翱翔太空意凌云，

一心为人民。

壮士临阵决死，

哪管些许伤痕，

向千年老魔作战，

为百代新风斗争，

慷慨掷此身。

　　华罗庚的名字为科技爱好者所熟悉，他写的课外读物曾是中学生们打开 数学殿堂的神奇钥匙，他自学成才的故事则鼓舞了无数有志青年勇攀科学高 峰。在中国的广袤大地上，到处都留有他推广优选法与统筹法的艰辛足迹。 这位“人民的数学家”，为他钟爱的数学事业奉献了毕生的精力与汗水。

　　生平

　　■童年时因思考问题过于专心常被同伴们戏称“罗呆子”；只有初中毕 业文凭，凭自学最终走上清华大学讲坛

　　■抗战期间，在昆明郊外一间牛棚似的小阁楼里写出经典名著《堆垒素 数论》

　　■在工农业生产中推广优选法和统筹法，足迹遍及27个省市自治区，创 造了巨大的物质财富和经济效益

　　华罗庚，1910年11月12日出生于江苏金坛县，父亲以开杂货铺为生。他 幼时爱动脑筋，因思考问题过于专心常被同伴们戏称为“罗呆子”。他进入 金坛县立初中后，其数学才能被老师王维克发现，并尽心尽力予以培养。初 中毕业后，华罗庚曾入上海中华职业学校就读，因拿不出学费而中途退学， 故一生只有初中毕业文凭。

　　此后，他开始顽强自学，每天达10个小时以上。他用5年时间学完了高中 和大学低年级的全部数学课程。1928年，他不幸染上伤寒病，靠新婚妻子的 照料得以挽回性命，却落下左腿残疾。20岁时，他以一篇论文轰动数学界， 被清华大学请去工作。

　　从1931年起，华罗庚在清华大学边工作边学习，用一年半时间学完了数 学系全部课程。他自学了英、法、德文，在国外杂志上发表了三篇论文后， 被破格任用为助教。1936年夏，华罗庚被保送到英国剑桥大学进修，两年中 发表了十多篇论文，引起国际数学界赞赏。1938年，华罗庚访英回国，在西 南联合大学任教授。在昆明郊外一间牛棚似的小阁楼里，他艰难地写出名著 《堆垒素数论》。1946年3月，他应邀访问苏联，回国后不顾反动当局的限制， 在昆明为青年作“访苏三月记”的报告。1946年9月，华罗庚应纽约普林斯顿 大学邀请去美国讲学，并于1948年被美国伊利诺依大学聘为终身教授。不久， 妻子带着三个儿子来到美国与其团聚。

　　1949年，华罗庚毅然放弃优裕生活携全家返回祖国。1950年3月，他到达 北京，随后担任了清华大学数学系主任、中科院数学所所长等职。50年代， 他在百花齐放、百家争鸣的学术空气下著述颇丰，还发现和培养了王元、陈 景润等数学人才。1956年，他着手筹建中科院计算数学研究所。1958年，他 担任中国科技大学副校长兼数学系主任。从1960年起，华罗庚开始在工农业 生产中推广统筹法和优选法，足迹遍及27个省市自治区，创造了巨大的物质 财富和经济效益。1978年3月，他被任命为中科院副院长并于翌年入党。

　　晚年的华罗庚不顾年老体衰，仍然奔波在建设第一线。他还多次应邀赴 欧美及香港地区讲学，先后被法国南锡大学、美国伊利诺依大学、香港中文 大学授予荣誉博士学位，还于1984年以全票当选为美国科学院外籍院士。 1985年6月12日，他在日本东京作学术报告时，因心脏病突发不幸逝世，享年 74岁。

　背景

　　■一名美国教授评论：“华罗庚若留在美国，本可对数学做出更多贡献。 但他回国对中国数学十分重要，很难想象，如果他不回国，中国数学会怎么 样”

　　■受毛泽东的《实践论》启发，第一次使数学从书本走向生产实践，被 广大群众誉为“人民的数学家”

　　从“五四”运动开始，古老的华夏大地就响起了要求科学、民主的呼声。 但在反动统治下，政治的黑暗使一大批才华横溢的科学家无用武之地，他们 不得不远涉重洋到国外去寻求发展。华罗庚经过顽强自学终于成为数学名家 时，也由于同样原因心怀惆怅地到了海外。

　　华罗庚在美国当教授时，年薪高达两万美元（按当时购买力相当于现在 币值的5倍），有小洋楼和汽车。但他常说：“梁园虽好，非久居之乡！”他 一直希望“回国和苦兄弟们在一起，把祖国建设好”。当华罗庚闻知新中国 成立的消息时，便毅然回到国内从头开始。一名美国教授后来评论他：“华 罗庚若能留在美国，本来可以对数学做出更多的贡献。但他回国对中国数学 也是十分重要的。很难想象，如果他不回国，中国数学会怎么样。”

　　更难能可贵的是，华罗庚受毛泽东的《实践论》启发，坚持到群众中去， 第一次使数学从书本走向生产实践，在应用数学的推广方面取得了举世瞩目 的成绩。他也被广大群众誉为“人民的数学家”。

　　故事

　　■左腿残疾后，走路要左腿先画一个大圆圈，右腿再迈上一小步。他戏 称这是“圆与切线的运动”。他的誓言是：“我要用健全的头脑，代替不健 全的双腿！”

■由于青年时代受到过“伯乐”的知遇之恩，对于人才的培养格外重视

华罗庚是一位自学成才的数学巨匠，对数学的痴迷和顽强毅力令人赞叹。 他失学回家后，一边帮助父亲照顾小店一边自学，常常达到如痴如醉的程度 而忘记接待顾客。他经常闹笑话，不是气走了顾客，就是算错了账、多找了 钱。他父亲气极了，就把华罗庚演算的草稿纸撕掉扔到街上。有一次，父亲 一气之下要烧掉数学书，华罗庚心如刀绞，竟休克昏倒在地。

　　华罗庚因病左腿残疾后，走路要左腿先画一个大圆圈，右腿再迈上一小 步。对于这种奇特而费力的步履，他曾幽默地戏称为“圆与切线的运动”。 在逆境中，他顽强地与命运抗争，誓言是：“我要用健全的头脑，代替不健 全的双腿！”凭着这种精神，他终于从一个只有初中毕业文凭的青年成长为 一代数学大师。华罗庚一生硕果累累，是中国解析数论、典型群、矩阵几何 学、自导函数论等方面的研究者和创始人，其著作《堆垒素数论》更成为 20世纪数学论著的经典。

　　由于青年时代受到过“伯乐”的知遇之恩，华罗庚对于人才的培养格外 重视，他发现和培养陈景润的故事更是数学界的一段佳话。在他亲自关心和 过问下，陈景润从厦门大学被调到中科院数学研究所，最终在攻克哥德巴赫 猜想方面取得了世界领先的成绩。此外，万哲元、陆启铿、王元、潘承洞、 段学复等人也是在华罗庚的悉心培育下成长起来的。华罗庚还是我国中学生 数学竞赛的首创者，从1956年到1978年间，他亲自担任竞赛委员会主任，还 写了大量中学生课外数学读物和学习方法书，为培养优秀数学人才倾注了大 量心血。

　　■他不仅是一位杰出的数学家，而且才华横溢，诗文俱佳

　　■东京大学原定45分钟的报告，在经久不息的掌声中被延长到一个多小 时。当他满头大汗结束讲话时，突然心脏病发作倒在讲台上

　　华罗庚是中国最早把数学理论研究和生产实践紧密结合、并做出巨大贡 献的科学家。1964年，华罗庚曾给毛泽东写了一封信，建议在生产实践中推 广优选法和统筹法，认为可以提高管理水平和效率。毛泽东的回信是十几个 苍劲有力的大字，其中称赞他的想法“壮志凌云，可喜可贺”。受此巨大鼓 舞，他在近二十年间走遍祖国的山山水水，深入到工厂、矿山，冒酷暑、顶 严寒，用深入浅出的语言向工人和农民介绍优选法和统筹法。毛泽东后来又 一次给华罗庚复信说：“你不为个人而为人民服务，十分欢迎。”

　　华罗庚才华横溢，除数学外，诗文俱佳，演说才思敏捷且幽默风趣。他 读唐诗“月黑雁飞高，单于夜遁逃。欲将轻骑逐，大雪满弓刀。”发现有常 识性错误，并随口成诗指出：“北方大雪时，群雁早南归，月黑天高处，怎 得见雁飞？”这四句诗不但显示出华罗庚精于推理的特点，其诗文功底也可 见一斑。

　　1985年6月12日，华罗庚应邀到日本东京大学作学术报告。他先中文，后 改用英语演讲。日本学者被他精彩的演说深深吸引，原定45分钟的报告在经 久不息的掌声中被延长到一个多小时。当他满头大汗结束讲话时，突然心脏 病发作倒在讲台上。他用行动实践了自己的诺言：“最大的希望就是工作到 生命的最后一刻。”

　　■本版撰文／国防大学王志军